সাধারণ ধারণা :

• দ্বিপদী রাশি : দুইটি পদযুক্ত রাশি কে দ্বিপদ রাশি বলে । যেমন : (a+b), (x+a) প্রভৃতি
• দ্বিপদী উপপাদ্য : দ্বিপদী উপপাদ্য হলো একটি বীজগাণিতীয় সূত্র যার সাহায্যে একটি দ্বিপদ রাশির যেটি কোন শক্তি বা মূলকে একটি ধারায় প্রকাশ করা যায় ।
• (a+x)ⁿ এর বিস্তৃতি : n∈N হলে,

(a+x)ⁿ = nc₀aⁿ+nc₁a^n-1x+nc₂a^n-2x²+……+nc_ra^n-rx^r+……+xⁿ …(i)

অনুসিদ্ধান্ত :

1. (i) এ x এর পরিবর্তে -x বসিয়ে পাই,

(a-x)ⁿ = aⁿ-nc₁a^n-1x+nc₂a^n-2x²-……+(-1)^rnc_ra^n-rx^r+……+(-1)ⁿxⁿ …(ii)

লক্ষণীয়, (a+x)ⁿ ও (a-x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে পদগুলোর সাংখ্যিক মান একই শুধু এর বিস্তৃতি n এর জোড় ও বিজোড় মানের জন্য পদটির চিহ্ন যথাক্রমে ধনাত্মক ও ঋনাত্মক হয় ।

2. a = 1 এর জন্য (i) থেকে পাই,

(1+x)ⁿ = 1+nc₁x+nc₂x²+……+nc_rx^r+……+xⁿ

= 1 + (n/1!)x + (n/2!)(n-1)x² + ……. + x^r + …… + xⁿ

a = 1 এর জন্য (ii) থেকে পাই,

(1-x)ⁿ = 1-nc₁x+nc₂x²-……+(-1)^rc_rx^r+……+(-1)ⁿxⁿ

= 1 – (n/1!)x + (n/2!)(n-1)x² – ……. + (-1)^r{n(n-1)(n-2)……(n-r+1)}/r! + …… + (-1)^xxⁿ

• (a+x)ⁿ বিস্তৃতির সাধারণ পদ (general term) :

(a+x)ⁿ বিস্তৃতির পদগুলোকে প্রথম থেকে ধারাবাহিকভাবে T₁, T₂, …, T_r, T_r+1 দ্বারা সূচিত করলে পাই,

T₁ = nc₀a^n-0x⁰ = aⁿ

T₂ = nc₁a^n-1x¹

T₃ = nc₂a^n-2x²

T_r+1 = nc_ra^n-rx^r

∴ T_r+1 দ্বারা (r+1) তম পদকে সূচিত করা হয়েছে । (r+1) তম পদকে বিস্তৃতির সাধারণ পদ বলা হয়।

∴ (a+x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ = nc_ra^n-rx^r

∴ (a-x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ = (-1)^rc_ra^n-rx^r

∴ (1+x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ = nc_rx^r

∴ (1-x)ⁿ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ = (-1)^rnc_rx^r

• (a+x)ⁿ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ :

(i) n জোড়সংখ্যা হলে বিস্তৃতিতে (n+1) সংখ্যক অর্থাৎ বিজোড় সংখ্যক পদ থাকবে ।এক্ষেত্রে মধ্যপদ একটি এবং তা (n/2 + 1) তম পদ ।

∴ মধ্যপদ = nc_n/2a^n/2x^n/2

(ii) বিজোড় সংখ্যা হলে বিস্তৃতিতে (n+1) সংখ্যক অর্থাৎ জোড় সংখ্যক পদ থাকবে । এক্ষেত্রে মধ্যপদ দুইটি এবং তারা {(n-1)/2 +1} তম ও {(n+1)/2 + 1} তম পদ

∴ প্রথম মধ্যপদ = nc_(n-1)/2a^(n+1)/2x^(n-1)/2

∴ দ্বিতীয় মধ্যপদ = nc_(n+1)/2a^(n-1)/2x^(n+1)/2

লক্ষনীয়, প্রথম মধ্যপদের সহগ = দ্বিতীয় মধ্যপদের সহগ, অর্থাৎ,

nc_(n-1)/2 = nc_(n+1)/2 = n!/{ ½ (n+1)! ½ (n-1)!}

• (a+x)ⁿ বিস্তৃতির দুটি ধারাবাহিক পদের অনুপাত : বিস্তৃতিতে r+1 ও r তম পদ দুটির অনুপাত = T_r+1 : +_r = (n-r+1)/r . x/a
• দ্বিপদী ধারা : যদি n ঋণাত্মক মূল সংখ্যা হয় এবং ∣x∣<1 হয় (অর্থাৎ -1<x<1 হয়) তবে,

(1+x)ⁿ = 1 + (n/1!)x + (n/2!)(n-1)x² + ……. + x^r + …… + α

∴ T_r+1 = x^r

এরূপ বিস্তৃতির পদের সংখ্যা অনন্ত ।

অনুসিদ্ধান্ত :

1. বিস্তৃতিটি (1-x)ⁿ হলে,

T_r+1 = (-1)^r x^r

2. বিস্তৃতিটি (1+x)^-n হলে,

T_r+1 = (-1)^r x^r

3. বিস্তৃতিটি (1-x)^-n হলে,

T_r+1 = x^r

4. (1+x)^-n ও (1-x)^-n বিস্তৃতির ক্ষেত্রে,

T_r+1 = (n+r-1)/r . x/a

• Some important series to remember :

(i) (1-x)^-1 = 1+x+x²+x³+……+x^r+……α

(ii) (1+x)^-1 = 1-x+x²-x³+……+(-1)^rx^r+……α

(iii) (1-x)^-2 = 1+2x+3x²+4x³+……+(r+1)x^r+……α

(iv) (1+x)^-2 = 1-2x+3x²-4x³+……+(-1)^r(r+1)x^r+……α

(v) (1-x)^-3 = 1+3x+6x²+10x³+……+(1/2)(r+1)(r+2)x^r+……α

(vi) (1+x)^-3 = 1-3x+6x²-10x³+……+(-1)^r(r+1)(r+2)x^r+……α

[লক্ষণীয় : (i) এর উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে (iii) পাওয়া যায় অর্থাৎ,

(d/dx)(1-x)^-1 = (d/dx)(1+x+x²+x³+……+x^r+……α

⇒ -1(1-x)^-2(d/dx)(1-x) = 1+2x+3x²+4x³+……+rx^r-1+(r+1)x^r+……α

⇒ (1-x)^-2 = 1+2x+3x²+4x³+……+(r+1)x^r+……α

অনুরূপভাবে, (i) কে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ (1-x)^-3, (1-x)^-4, ……. করে পাওয়া যায় । আরো লক্ষণীয়, (1-x)^-n এর প্রতিটি পদই ধনাত্মক এবং এর পদগুলোর চিহ্ন r এর জোড় ও বিজোড় মানের প্রেক্ষিতে যথাক্রমে ধনাত্মক ও ঋনাত্মকে পরিণত করলেই (1+x)^-n বিস্তৃতি পাওয়া যায় ।]

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান :

১) এর বিস্তৃতিতে

২) বর্জিত পদ/ধ্রুবক পদ এবং পদটির মান নির্ণয় কর

৩) এর সহগ কত?

৪) মধ্যপদ নির্ণ্য় কর

সাধারণ পদটি বর্জিত হবে যদি

তম পদ বর্জিত এবং এর মান

সাধারণ পদে থাকবে যদি

তম পদে আছে এবং নির্ণয় সহগ

এখানে বিজোড় সংখ্যা । মধ্যপদ দুইটি এবং তারা তম পদ । অর্থাৎ ৪ এবং ৭ পদ হলে বিস্তৃতির দুটি মধ্যপদ

১ম মধ্যপদ

২য় মধ্যপদ

এর বিস্তৃতিতে বর্জিত পদটির মান নির্ণয় কর

এখানে

সাধারণ পদটি বর্জিত হবে যদি

তম পদটি বর্জিত এবং পদটির মান

এর বিস্তৃতিতে এবং এর সহগ দুটি পরস্পর সমান হলে এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করা

যদি সাধারণ পদে থাকে তবে

যদি সাধারণ পদে থাকে তবে

এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হলে

৪)এর বিস্তৃতিতে এর সহগ ৩২০ হলে এর মান নির্ণয় কর।

এখানে

৫)এর বিস্তৃতিতে ২১তম ও ২২ পদ দুইটি পরস্পর সমান হলে এর মান নির্ণয় কর

পদদ্বয় ধারাবাহিক ও অসমান

৬)এর বিস্তৃতিতে সাংখ্যমান বৃহত্তম পদটি নির্ণয় কর

৭)এর বিস্তৃতিতে এর সহগ নির্ণয় কর

• এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ বর্জিত
• এর বিস্তৃতিতে বর্জিত পদ কোনটি
• এর ৭ তম পদের সহগ কত
• এর বিস্তৃতিতে এর সহগ কত
• এর সম্প্রসারণে মুক্ত পদ কোনটি
• এর সম্প্রসারণে বর্জিত পদ কোনটি
• এর বিস্তৃতিতে বর্জিত পদ হলো