সাধারণ ধারণা :

নির্ণায়ক (Determinants) : নির্ণায়ক হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে । কোন n×n বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের ক্রমও n ।

নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক (Minor and cofactor of determinants) : যদি D কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে তার যেকোন উপাদান d_ijএর অণুরাশিকে M_ijদ্বারা প্রকাশ করা হয় । M_ijহল i তম সারি ও j তম কলাম বাদে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক । যেমন :

D = হলে,

a₁এর অণুরাশি = M₁₁ = = = b₂c₃ – b₃c₂

অনুরূপভাবে, b₁এর অণুরাশি = M₁₂ = = = a₂c₃ – a₃c₂

অর্থাৎ, যদি D এর কোন উপাদানের মধ্য দিয়ে একটি আনুভূমিক ও একটি উল্লম্ব সরলরেখা টানা যায় তাহলে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়কই হল ঐ উপাদানের অণুরাশি ।

আবার, D এর কোন উপাদান d_ijএর সহগুণকে C_ijদ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে C_ij = (-1)^i+jM_ij। অর্থাৎ, অণুরাশির পূর্বে যথাযোগ্য চিহ্ন বসালে সংশ্লিষ্ট উপাদানের সহগুণক পাওয়া যায় । যেমন :

b₁এর সহগুণক = (-1)¹⁺²M₁₂ = – = -(a₂c₃ – a₃c₂)

নির্ণায়কের বিস্তৃতি (Expansions of Determinant) : কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট সারি কিংবা কলাম বরাবর বিস্তৃত করে এর নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা হয় । ঐ নির্দিষ্ট কলামের/ সারির প্রতিটি উপাদানকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুণ করে গুণফলের বীজগাণিতিক সমষ্টি নিলে উক্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান পাওয়া যায় । অর্থাৎ, A, n মাত্রার কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

det(A) = a₁₁c₁₁+a₁₂c₁₂+

. +a_1nc_1n

= a₂₁c₂₁+a₂₂c₂₂+

. +a_2nc_2n

… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

= a_n1c_n1+a_n2c_n2+

. +a_mnc_nn

অনুরূপভাবে, কলাম বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

det(A) = a₁₁c₁₁+a₁₂c₁₂+

. +a_1nc_1n

= a₂₁c₂₁+a₂₂c₂₂+

. +a_2nc_2n

… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

= a_n1c_n1+a_n2c_n2+

. +a_mnc_nn

উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

= a₁ – b₁ + c₁

= a₁ (b₂c₃ – b₃c₂) – b₁ (a₂c₃ – a₃c₂) + c₁ (a₂b₃ – a₃b₂)

নির্ণায়কের ধর্ম (Properties of Determinants) :

১. নির্ণায়কের কোন সারি বা কোন কলামের উপাদানগুলো শূণ্য হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।

২. নির্ণায়কের সারি ও কলামসমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ সারিগুলো কলামে এবং কলামগুলো সারিতে পরিণত করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।

৩. নির্ণায়কের পাশাপাশি দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কিন্তু সাংখ্যমান অপরিবর্তিত থাকে ।

৪. নির্ণায়কের দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি অভিন্ন (Identical) হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।

৫. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে যথাক্রমে অপর সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের সহগুণক দ্বারা গুণ করা হলে । গুণফলগুলোর সমষ্টি শূণ্য হয় ।

৬. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রত্যেকটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নির্ণায়কের মানকেও সেই স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় ।

৭. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যদি যথাক্রমে অন্য কোন সারি বা কলাম পাওয়া যায় তবে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।

৮. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান দুইটি পদ নিয়ে গঠিত হলে নির্ণায়কটিকে অন্য দুটি নির্ণায়কের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় ।

৯. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান যথাক্রমে অন্য একটি সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের একটি গুণিতক দ্বারা বৃদ্ধি ব হ্রাস করা হলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।

 

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ জোটের সমাধান :

১. সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো পাশাপাশি কলাম হিসেবে নিয়ে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে । উক্ত নির্ণায়ককে D বা Δ দ্বারা সূচিত করা হয় ।

২. এরপর উক্ত নির্ণায়কের প্রথম কলামকে সমীকরণজোটের ধ্রুব পদ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে নির্ণায়কের মান নিলে প্রথম কলামের সংশ্লিষ্ট চলকের জন্য একটি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।

৩. এভাবে প্রতি কলামের জন্য প্রক্রিয়া (ii) পুনরাবৃত্তি করে যথাক্রমে D_x/Δx, D_y/Δy, D_z/Δz …… ইত্যাদি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।

৪. x/Δx = y/Δy = z/Δz = …… = 1/Δ ইত্যাদির মান নির্ণয় করা যায় ।

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান :

1. মান নির্ণয় কর :

এখানে,

=

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম ৪]

অথবা, সরাসরি Calculator প্রয়োগ করেও মান নির্ণয় করা যায় । [see Determinants of matrix in Matrix chapter]

2. এর মান শূণ্য হলে a এর মান কত?

এখানে, = 0

⇒ 16 – (a+2)(a-4) = 0

⇒ 16 – (a²+2a-4a-8) = 0

⇒ 16- a²+2a+8 = 0

⇒ – a²+2a+24 = 0

⇒ a²-2a-24 = 0

⇒ a²-6a+4a-24 = 0

⇒ (a-6)(a+4) = 0

⇒ a = 6, -4

3. মান নির্ণয় কর :

a.

b. যেখানে w হল 1 এর একটি কাল্পনিক ঘনমূল

c.

d.

e.

f.

g.

প্রথমেই বিস্তার না করে নির্ণায়কের বিভিন্ন ধর্ম ব্যবহার করে সংক্ষেপে ও সহজে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা যায় । তবে ঠিক কোন ধর্মটি ব্যবহার করলে মান নির্ণয় অপেক্ষাকৃত/ অধিকতর সহজ হবে তা কোন গঁৎবাঁধা নিয়মের দ্বারা নির্দিষ্ট নয়, অর্থাৎ তা অনেকাংশেই শিক্ষার্থীর স্বজ্ঞা(?) (Intuition) ও বিশ্লেষণ ক্ষমতা (Analytical ability) এর উপর নির্ভর করে । তবে সবসময়ই প্রথমে চেষ্টা করতে হবে cmmon/সাধারণ উপাদান গুলো বের করে আনার । এরপর দেখতে হবে যে গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে পাশাপাশি কলাম বা সারিতে একই উপাদান আনা যায় কিনা, কেননা সেক্ষেত্রে সরাসরি নির্ণায়কের মান শূণ্য হয়ে যাবে । অথবা চেষ্টা করতে হবে কোন নির্দিষ্ট সারি বা কলামের সর্বোচ্চ সংখ্যক উপাদানকে শূণ্যে পরিণত করার । সেক্ষেত্রে বিস্তৃতিতে উপাদানসংখ্যা কমে যায় ফলে সহজ সরলীকরণ সম্ভব হয় ।

a. এখানে,

= [r₁′ = r₁-r₂; r₂′ = r₂-r₃]

=(a-b)(b-c) [r₁থেকে (a-b) এবং r₂থেকে (b-c) common নিয়ে ]

= (a-b)(b-c)(b+c-a-b) [c₁বরাবর বিস্তৃত করে]

= (a-b)(b-c)(c-a)

b. এখানে,

= [c₂′ = c₂+c₁-w; c₃′ = c₃+c₂-w]

= [∵ w₃ = 1]

= 1(0-4) [r₁বরাবর বিস্তৃত করে]

= -4

c. এখানে,

= [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c₃-c₂]

= [r₁বরাবর বিস্তৃত করে]

= (p-1)(p²-1)

= (p-1)(p²-1)(p²-p)

= p(p-1)(p²-1)

d. এখানে,

= [c₃′ = c₂+c₃]

= (x+y+z)

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

e. এখানে,

= abc

= abc [নির্ণায়কের ধর্ম ii]

= abc(a-b)(b-c)(c-a) [see example 3(a)]

f. এখানে,

= [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= (1+x₁+x₂+x₃)

= (1+x₁+x₂+x₃) [r₁′ = r₁-r₂; r₂′ = r₂-r₃]

= (1+x₁+x₂+x₃)1(1-0) [c₁বরাবর বিস্তৃত করে]

= 1+x₁+x₂+x₃

g. এখানে,

= [r₂′ = r₂-r₁; r₃′ = r₃-r₂]

= [∵ logm-logn = log(m/n)]

= log2.log(3/2)

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

4. সমাধান কর : x+y-z = 3

2x+3y+z = 10

3x-y-7z = 1

এখানে, D = Δ = = 1(-21+1)-1(-14-3)-1(-2-9) = 8

D_x = Δx = = 3(-21+1)-1(-70-1)-(-10-3) = 24

D_y = Δy = = 1(-70-1)-3(-14-3)-1(2-30) = 8

D_z = Δz = = 1(3+10)-1(2-30)+3(-2-9) = 8

∴ x = D_x/D = Δx/Δ = 3

∴ y = D_y/D = Δy/Δ = 3

∴ z = D_z/D = Δz/Δ = 3

Calculator Techniques :

2 বা 3 চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণজোটের সমাধান Calculator এ নির্ণয় করা যায় :

3

1. Equation mode এ যেতে চাপুন– (EQN)

2. চলক সংখ্যা Input কর । যেমন : Example 4 এ চলক তিনটি x,y,z । ∴ চাপুন–

3. তিনটি চলকবিশিষ্ট সমীকরণ calculator এ নিচের আকৃতিতে Input করতে হয়–

a₁x+b₁y+c₁z = d₁

a₂x+b₂y+c₂z = d₂

a₃x+b₃y+c₃z = d₃

যেমন : Example 4 এর চলকসমূহের সহগগুলো Input করতে চাপুন–

(a1?)(b1?)(c1?)(d1?)

(a2?)(b2?)(c2?)(d2?)

(a3?)(b3?)(c3?)(d3?)

(x=3)

(y=1)

(x=4)

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :

1. নির্ণায়কটির 0 এর সহগুণক কত?

a. 18

b. -24

c. 16

d. 24

2. এর মান কত?

a. 10

b. 20

c. 1

d. 0

3. নির্ণায়কটির মান 2 ; k এর মান কত?

a. 9

b. 8

c. 7

d. 6

4. নির্ণায়কটির মান শূণ্য হলে, β এর মান কত?

a. 5 অথবা 0

b. 6 অথবা 2

c. 5 অথবা -3

d. 1 অথবা -3

5. হলে

a. -a বা b

b. a বা -b

c. -a বা -b

d. a বা -b

6. নির্ণায়কটির মান–

a. 4xyz

b. x²yz

c. xy²z

d. xyz²

7. নির্ণায়কটির মান শূণ্য হলে a এর মান–

a. 4 or -5

b. 5 or -4

c. 3

d. 10

8. w যদি 1 এর একটি ঘনমূল হয়, তবে প্রদত্ত নির্ণায়কটির মান–

a. 0

b. 1

c. w

d. w²

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :

1. 0 এর সহগুণক = – = -(-4-20) = 24 [see নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক]

∴ ans.d

2. 10 = 10 [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c₃-c₂]

= 10.1(3-1) = 20

অথবা, Calculator ব্যবহার করে সরাসরি মান নির্ণয় করে ফেলুন । [see Calculator Techniques in Matrix]

∴ ans.b

3. = 2 [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c₃-c₂ see example 2 for details]

⇒ k-4-3 = 2

⇒ k = 9

∴ ans.a

4. (β-2)(β+4)+5 = 0 ⇒ β²-2β+4β-8+5 = 0 [see example 2]

⇒ β²+2β-3 = 0

⇒ β²+3β-β-3 = 0

⇒ (β+3)(β-1) = 0

⇒ β = 1 অথবা -3

∴ ans.d

5. = 0 [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c₃-c₂]

⇒ (x-a)(a-b) = 0 [see example x(a) for details]

⇒ (x-a)(a-b)(a+b-x-a) = 0

⇒ x = a অথবা b

∴ ans.d

6. [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= -2z

= -2z [r₁′ = r₂-r₃]

= -2z(-xy-xy)

= 4xyz

∴ ans.a

7. (a-3)(a+4)-8 = 0

⇒ a²-3a+4a-12-8 = 0 [see example 2 for details]

⇒ a²+a-20 = 0

⇒ a²+5a-4a-20 = 0

⇒ (a+5)(a-4) = 0

⇒ a = 4 or -5

∴ ans.a

8. [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= [∵ 1+w+w² = 0]

= 0 [নির্ণায়কের ধর্ম i]

∴ ans.a

শীঘ্রই আসছে….

গণিতের সকল অধ্যায় পেতে এখানে যান