বিসিএস প্রিলিমিনারি গণিত অনুপাত
(BCS প্রিলিমিনারিতে বাস্তব সংখ্যা, লসাগু, গসাগু, শতকরা, সরল ও যৌগিক মুনাফা, অনুপাত ও সমানুপাত, লাভ ও ক্ষতি থেকে সর্বোচ্চ ০৩ নম্বর থাকবে এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়ও এ অধ্যায়গুলো থেকে প্রশ্ন থাকে)
অনুপাতঃ দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
বহু রাশিক অনুপাত : তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।
ধারাবাহিক অনুপাত : প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান হলে তাকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে।
এবং তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতী বলে।
অর্থাৎ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
* সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে।
* সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।
ক্রমিক সমানুপাতি : তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
* ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
* ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।
সমানুপাত ভাগ: একটি প্রদত্ত রাশিকে একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যার অনুপাতে বিভক্ত করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলে।
দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
যেমন, জনাব সাইদের বয়স আমার ৩ গুণ। এই কথাটি একটি আনুপাতিক সংখ্যা প্রকাশ করে।
আমার বয়সঃ ২৩ বছর
জনাব সাইদের বয়সঃ ৬৯ বছর
জনাব সাইদের বয়স ÷আমার বয়স = ৬৯÷২৩ = ৩
এটিকে লেখা যেতে পারে,
জনাব সাইদের বয়স : আমার বয়স = ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১
এখন দেখুন, আমরা ৩:১ থেকে লিখতে পারি,
সাইদের বয়স = ৩x বছর
আমার বয়স = x বছর; x এখানে সেই সংখ্যাটি যেটি দিয়ে ভাগ করে অনুপাতটিকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১; এখানে অনুপাতের দুইটি সংখ্যাকে ২৩ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। x = ২৩।
অনুপাত অনেকটা ভাগের মতন।
২১: ১১ এটিকে আর সংক্ষেপে প্রকাশ করা যায় না।
১২ : ৬ = ২ : ১
১২ : ৮ = ৩ : ২
এবার খেয়াল কর,
৩ : ৬ = ১ : ২
৯ : ১৮ = ১ : ২
২ : ৪ = ১ : ২
উপরের তিনটি অনুপাতকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করলে একই মান পাওয়া যায়। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাত: অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে।
যেমন: ৬: ৮ একটি সরল অনুপাত। এখানে ৬ হলো পূর্ব রাশি এবং ৮ হলো উত্তর রাশি।
লঘু অনুপাত: সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৭: ৯, ৬: ৮ ইত্যাদি।
গুরু অনুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ৫: ২, ৮: ৬, ৯: ৪ ইত্যাদি।
একক অনুপাত: যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, সেই অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন: ১০: ১০ বা, ৩: ৩ বা ১: ১।
ব্যস্ত অনুপাত: ১২: ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ৬: ১২।
মিশ্র অনুপাত: ২: ৩ এবং ৫: ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২ × ৫): (৩ × ৭) = ১০: ২১।
–
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমাণ সোনা ও তামা আছে?
সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ হলে, ধরি সোনা আছে ৩x গ্রাম এবং তামা আছে x গ্রাম।
প্রশ্নমতে,
৩x + x = ১৬
৪x = ১৬
x= ৪
অর্থাৎ, তামা আছে ৪ গ্রাম
সোনা আছে (৩*৪)গ্রাম = ১২ গ্রাম।
দ্বিতীয় নিয়মঃ
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
–
এখন প্রশ্নটি এরকম করা হলঃ
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
এখন মিশ্রণে সোনা মিশানো হবে, তার মানে তামা যেটি আছে তাই থাকবে অর্থাৎ ৪ গ্রামই থাকবে। নতুন মিশ্রণে সোনা ও তামার অনুপাত হবে, ৪:১।
মানে হল, সোনা তামার ৪ গুণ হবে= (৪ গ্রামx৪) = ১৬ গ্রাম হবে।
সুতরাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬-১২) = ৪ গ্রাম
–
একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যত দূর যায়, কুকুর ৩ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩লাফ
সুতরাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪ লাফ
সুতরাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগেরঅনুপাত = ৪:১৫/৪ = ১৬:১৫
–
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮.উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্নমতে , (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২:৩
বা, (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,
৫x = ৫ x ২ = ১০ ও
৮x = ৮ x ২ = ১৬
অনুপাত এর অংক সহজেই করার টেকনিক:.✿
.১. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য একই হয়,তখন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণেরপরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
যেমন-৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ওপানির অনুপাত৭:৩। মিশ্রনে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
= ৩০/৩* (৭-৩)
= ৪০লিটার
.২. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য ভিন্নহয়, তখন-মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
যেমন- একটি সোনার গহনার ওজন ১৬গ্রাম।তাতে সোনার পরিমাণ: তামার পরিমাণ = ৩:১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
= ১৬/(৩+১)
= ৪গ্রাম
বিকল্প নিয়ম:
নিয়ম-০১:
৬০ লিটার কেরোসিন এবং পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৭:৩.ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩:৭ হবে?
উত্তর:মেশাতে হবে = [মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা] x অনুপাতের পার্থক্য = [৬০/৩] x [৭-৩] = ২০x৪ = ৮০
নিয়ম-০২:
একটি তামা মিশ্রিত সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। ঐ গহনায় সোনা এবং তামার অনুপাত ৩:১.এতে আরো কি পরিমাণ সোনা মিশালে গহনাটিতে সোনা এবং তামার অনুপাত হবে ৪:১?
উত্তর:মেশানোর পরিমাণ = [প্রথম মিশ্রণের পরিমাণ/প্রথম অনুপাতের সমষ্টি] X অনুপাতদ্বয়ের পূর্ব রাশি দুটির পার্থক্য
= [১৬/(৩+১)] X(৪-৩) = ৪ গ্রাম
নিয়ম-০৩ঃ
একটি জারে দুধ এবং পানির অনুপাত ৭:৩. দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?
উত্তর:পানির পরিমাণ = [মোট পার্থক্যের পরিমাণ/অনুপাতের বিয়োগফল] x যত অনুপাত
পানির পরিমাণ =[৮/৭-৩] X৩=৬
উদাহরণঃ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ঃ১। এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪ঃ১ হবে?
সমাধানঃ
সোনা :তামা = ৩ঃ ১
মোট মিশ্রণ (৩+১) = ৪ গ্রাম
সুতারাং মিশ্রণে সোনার পরিমান = ১৬ x ৩/৪ = ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
সুতারাং সোনা: তামা = ৪ঃ ১
১ গ্রাম তামায় সোনা ৪ গ্রাম
৪ গ্রাম তামায় সোনা ৪ x ৪ =১৬ গ্রাম
সুতারাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬ – ১২) = ৪ গ্রাম (উঃ)
উদাহরণঃ ১,০০০ টাকা ক ও খ ১ঃ ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ – এর অংশ সে ও তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ঃ১ঃ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?
সমাধানঃ
কঃখ = ১ঃ৪
অনুপাতের যোগফল ৪+১ = ৫
সুতারাং খ পায় = (১০০০ এর ৪/৫)=৮০০ টাকা
খঃমাঃমেয়ে = ২ঃ১ঃ১
অনুপাতের যোগফল (২+১+১)= ৪
সুতারাং মেয়ে পায় = ৮০০ এর ১/৪ = ২০০ টাকা (উঃ)
উদাহরণঃ একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩ লাফ
সুতারাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪
সুতারাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত = ৪ঃ ১৫/৪ = ১৬ঃ ১৫ (উঃ)
৪। দুটি সংখ্যার আনুপাত ৫ঃ৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ঃ৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
সমাধানঃ
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্ন মতে , (৫x + ২): (৮x + ২) = ২ঃ৩
বা, ৫x + ২ / ৮x + ২ = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,৫x = ৫ x ২ = ১০ ও ৮x = ৮ x ২ = ১৬
উ: ১০ ও ১৬
অনুপাত এর অংক সহজেই করার টেকনিক:
১. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য একই হয়,তখন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণেরপরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
যেমন-৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ওপানির অনুপাত৭:৩। মিশ্রনে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
= ৩০/৩* (৭-৩)
= ৪০লিটার
২. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য ভিন্নহয়, তখন- মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
যেমন- একটি সোনার গহনার ওজন ১৬গ্রাম।তাতে সোনার পরিমাণ: তামার পরিমাণ = ৩:১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
= ১৬/(৩+১)
=৪
উদাহরণ-১ঃ
১০, ৪০ এবং ৫০ এর চতুর্থ সমানুপাতী নিচের কোনটি হবে?
সমাধানঃ
১০×৪=৪০
৫০×৪=২০০ (Ans.)
উদাহরণ-২ঃ
জ্বালানি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় বাসের টিকিটের মূল্যও একই হারে বৃদ্ধি পেল। পুরানো ও নতুন বাস ভাড়ার অনুপাত কত?
সমাধানঃ
ধরি, পুরানো বাস ভাড়া = ১০০ টাকা
তাহলে, নতুন বাস ভাড়া = ১২৫ টাকা
এখন, অনুপাত,
পুরানো বাস ভাড়া : নতুন বাস ভাড়া = ১০০ : ১২৫
= ২৫*৪ : ২৫*৫
= ৪ : ৫ (Ans.)
উদাহরণ-৩ঃ
একজন লোক সপ্তাহে ৪৫০০ টাকা আর্ন করেন এবং ৩০০০ টাকা ব্যয় করেন। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত হবে?
সমাধানঃ
সঞ্চয় = (৪৫০০-৩০০০)=১৫০০ টাকা
সুতরাং,
আয়ঃসঞ্চয়= ৪৫০০ঃ১৫০০= ৩ঃ১ (Ans.)
উদাহরণ-৪ঃ
৭০ লিটার অকটেন পেট্রোল মিশ্রনে পেট্রোল : অকটেন = ৫ : ২। এই মিশ্রনে আর কত লিটার অকটেন মিশালে পেট্রোল : অকটেন ২ : ১ হবে?
সমাধানঃ
পেট্রোলের পরিমাণ = ৫*৭০/৭
= ৫০ লিটার
অকটেনের পরিমাণ = ২*৭০/৭
= ২০ লিটার
এখন,
পেট্রোল:অকটেন ২:১ হবে, যখন অকটেনের পরিমাণ পেট্রোলের ঠিক অর্ধেক হবে।
অর্থাৎ,
অকটেনের পরিমাণ হতে হবে= ৫০/২ = ২৫ লিটার।
সুতরাং, অতিরিক্ত অকটেনের প্রয়োজন = (২৫ – ২০) লিটার
= ৫ লিটার (Ans.)
উদাহরণ-৫ঃ
পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১:৪। পুত্রের বয়স ১৬ হলে। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতা ও পুত্রের বয়স যথাক্রমে ১১ক,৪ক
শর্তমতে, ৪ক = ১৬
বা, ক=8
পিতার বয়স =১১ক=১১x৪=৪৪ (Ans.)
প্রতিটি লেকচারে নতুন নতুন লিখা যুক্ত হচ্ছে, তাই কাঙ্খিত কোন লিখা না পেলে দয়া করে কিছুদিন পর আবার ভিজিট করে দেখবেন।
লিখাতে কিংবা লেকচারে কোন ভুলত্রুটি থাকলে অথবা আপনার কাঙ্খিত লিখা খুঁজে না পেলেইশিখন.কম এর ফ্যানপেইজ অথবা নিচে কমেন্ট কর