গণিত অনুপাত সমানুপাত ঃ NTRCA শিক্ষক নিবন্ধন
অনুপাতঃ দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
বহু রাশিক অনুপাত : তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।
ধারাবাহিক অনুপাত : প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান হলে তাকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে।
এবং তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতী বলে।
অর্থাৎ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
* সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে।
* সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।
ক্রমিক সমানুপাতি : তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
* ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
* ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।
সমানুপাত ভাগ: একটি প্রদত্ত রাশিকে একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যার অনুপাতে বিভক্ত করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলে।
দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
যেমন, জনাব সাইদের বয়স আমার ৩ গুণ। এই কথাটি একটি আনুপাতিক সংখ্যা প্রকাশ করে।
আমার বয়সঃ ২৩ বছর
জনাব সাইদের বয়সঃ ৬৯ বছর
জনাব সাইদের বয়স ÷আমার বয়স = ৬৯÷২৩ = ৩
এটিকে লেখা যেতে পারে,
জনাব সাইদের বয়স : আমার বয়স = ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১
এখন দেখুন, আমরা ৩:১ থেকে লিখতে পারি,
সাইদের বয়স = ৩x বছর
আমার বয়স = x বছর; x এখানে সেই সংখ্যাটি যেটি দিয়ে ভাগ করে অনুপাতটিকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১; এখানে অনুপাতের দুইটি সংখ্যাকে ২৩ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। x = ২৩।
অনুপাত অনেকটা ভাগের মতন।
২১: ১১ এটিকে আর সংক্ষেপে প্রকাশ করা যায় না।
১২ : ৬ = ২ : ১
১২ : ৮ = ৩ : ২
এবার খেয়াল কর,
৩ : ৬ = ১ : ২
৯ : ১৮ = ১ : ২
২ : ৪ = ১ : ২
উপরের তিনটি অনুপাতকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করলে একই মান পাওয়া যায়। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাত: অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে।
যেমন: ৬: ৮ একটি সরল অনুপাত। এখানে ৬ হলো পূর্ব রাশি এবং ৮ হলো উত্তর রাশি।
লঘু অনুপাত: সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৭: ৯, ৬: ৮ ইত্যাদি।
গুরু অনুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ৫: ২, ৮: ৬, ৯: ৪ ইত্যাদি।
একক অনুপাত: যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, সেই অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন: ১০: ১০ বা, ৩: ৩ বা ১: ১।
ব্যস্ত অনুপাত: ১২: ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ৬: ১২।
মিশ্র অনুপাত: ২: ৩ এবং ৫: ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২ × ৫): (৩ × ৭) = ১০: ২১।
–
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমাণ সোনা ও তামা আছে?
সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ হলে, ধরি সোনা আছে ৩x গ্রাম এবং তামা আছে x গ্রাম।
প্রশ্নমতে,
৩x + x = ১৬
৪x = ১৬
x= ৪
অর্থাৎ, তামা আছে ৪ গ্রাম
সোনা আছে (৩*৪)গ্রাম = ১২ গ্রাম।
দ্বিতীয় নিয়মঃ
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
–
এখন প্রশ্নটি এরকম করা হলঃ
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
এখন মিশ্রণে সোনা মিশানো হবে, তার মানে তামা যেটি আছে তাই থাকবে অর্থাৎ ৪ গ্রামই থাকবে। নতুন মিশ্রণে সোনা ও তামার অনুপাত হবে, ৪:১।
মানে হল, সোনা তামার ৪ গুণ হবে= (৪ গ্রামx৪) = ১৬ গ্রাম হবে।
সুতরাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬-১২) = ৪ গ্রাম
–
একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যত দূর যায়, কুকুর ৩ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩লাফ
সুতরাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪ লাফ
সুতরাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগেরঅনুপাত = ৪:১৫/৪ = ১৬:১৫
–
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮.উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্নমতে , (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২:৩
বা, (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,
৫x = ৫ x ২ = ১০ ও
৮x = ৮ x ২ = ১৬
অনুপাত এর অংক সহজেই করার টেকনিক:.✿
.১. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য একই হয়,তখন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণেরপরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
যেমন-৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ওপানির অনুপাত৭:৩। মিশ্রনে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
= ৩০/৩* (৭-৩)
= ৪০লিটার
.২. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য ভিন্নহয়, তখন-মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
যেমন- একটি সোনার গহনার ওজন ১৬গ্রাম।তাতে সোনার পরিমাণ: তামার পরিমাণ = ৩:১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
= ১৬/(৩+১)
= ৪গ্রাম
এই লেকচারের পরের পেইজে যেতে নিচের 
…. তে ক্লিক কর।