গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানঃ

• Magic → T₁/T₂ = √(g₂/g₁) = (86400-x)/(86400)

→ R/(R+h) = √{(R-h)/R} = √(L₁/L₂)

• লিফটের ক্ষেত্রে, নিচের দিকে, T = 2π √{L/(g-t)}

উপরের দিকে, T = 2π √{L/(g+t)}

১. 30Nm^-1 ধ্রুবকের একটি আনুভূমিক স্প্রিং এর এক প্রান্ত একটি দেয়ালের সাথে আটকিয়ে অন্য প্রান্তে 0.5kg-wt ওজনের একটি ব্লক আটকিয়ে সাম্যাবস্থান থেকে একটি আনুভূমিক ঘর্ষণহীন টেবিল বরাবর 10cm টেনে ছেড়ে দেয়া হলো । ফলে এটি সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দিত হতে লাগল ।

(i) ব্লকটিকে ছেড়ে দেওয়ার পূর্ব মুহুর্তে এর উপর স্প্রিং কর্তৃক প্রযুক্ত বল কত?

(ii) ব্লকটি ছেড়ে দেওয়ার পর পর্যায়কাল কত?

(iii) গতির বিস্তার কত?

(iv) দোলায়মান ব্লকটির সর্বাধিক গতিবেগ কত?

(v) ব্লকটির সর্বাধিক ত্বরণ কত?

(vi) ব্লকটির মধ্যাবস্থান থেকে গতিপথের দিকে যখন অর্ধপথ যায় যে মুহুর্তে তার বেগ, ত্বরণ, স্থিতিশক্তি ও গতিশক্তি বের কর ।

সমাধান :

(i) F = -kx = -30×(10/100) = -3N [ans.]

(ii) T = 2π√(m/k) = 2π√(.5/30) = 0.81s [ans.]

(iii) A = 10cm = 0.1m [ans.]

(iv) V_m = Aω = A.(2π/T) = .1×(2π/.81) = 0.77ms^-1 [ans.]

(v) a_m = ω²A = (2π/T)²×A = (2π/.81)²×.1 = 6 ms^-2 [ans.]

(vi) V = ω√(A²-x²)

= (2 π/.81) √(.1²-.05²) = .67ms^-1 [ans.]

ত্বরণ, a = ω²x = (2π/.81)×.05 = 3ms^-1 [ans.]

গতিশক্তি, T = ½ mv² = ½ × .5 × .67² = .112J [ans.]

স্থিতিশক্তি, U = ½ kx² = ½ × 30 × .05² = 0.038J [ans.]

২. একটি সরল দোলক 2 মিনিটে 60 বার দোলন দেয় । দোলকটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধান :

T = 2π√(L/g)

⇒ L = (gT²)/(4 π²) =

∴ L = 0.993m [ans.]

৩. সরল ছন্দিত গতি সম্পন্ন একটি বস্তুর বিস্তার 0.01m এবং কম্পাংক 12Hz । বস্তুটির সরণ 5×10^-3 হলে এর গতিবেগ কত?

সমাধান :

V = ω√(A²-x²) ω = 2πn

= 2π×12 n = 12Hz

∴ V = 0.654ms^-1 [ans.] A = .01m

x = 5×10^-3m

৪. কোন একটি সেকেন্ড দোলকের দৈর্ঘ্য যদি 1.44 গুণ বৃদ্ধি করা হয় তাহলে এর দোলনকাল কত হবে?

সমাধান :

T₁/T₂ = √(L₁/L₂) T₁ = 2s

⇒ T₂ = T₁√(L₂/L₁) T₂ = ?

= 2√1.44 L₂ = 1.44L₁

∴ T₂ = 2.43s [ans.]

৫. একটি সরল দোলক 0.9s এ একবার টিক শব্দ করে । দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান :

L = (gT²)/4π²) = {9.8×(.9×2)²}/(4π²) T = .9×2s

∴ L = 0.80nm [ans.]

৬. একটি সেকেন্ড দোলক 21.6s ধীরে চলে । খনির গভীরতা নির্ণয় কর । [R = 4000mile]

সমাধান :

(86400-x)/86400 = √{(R-h)/R} R = 4000mile

⇒ (86400-21.6)/86400 = √{(4000-h)/4000} x = 21.6

⇒ h = 1.999 ≈ 2

∴ h = 2 mile [ans.]