09639399399
01948858258
NTRCA শিক্ষক নিবন্ধন – গণিত – উৎপাদক
উৎপাদক: যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন:
a2 – b2 = (a + b) (a – b),
এখানে (a + b) ও (a – b) উৎপাদক।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক সরল রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ওই সরল রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়।
x2 + 2x = x (x + 2), এখানে x ও x + 2 উৎপাদক
# উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য প্রয়োজন—
১. বীজগাণিতিক সূত্রাবলির ওপর দক্ষতা।
২. সূত্রগুলো ব্যবহার করার যোগ্যতা
৩. কমন নেওয়ার বিষয়ে স্পষ্ট অভিজ্ঞতা
৪. বিশেষ কিছু জটিল উৎপাদক করার বিশেষ কিছু কৌশল সম্পর্কে অভিজ্ঞতা। যেটি কেবলমাত্র ওই প্রকার রাশির জন্যই প্রযোজ্য হবে।
উৎপাদক নির্ণয় করার কিছু নিয়ম:
ক) সুবিধামতো সাজিয়ে: px – qy + qx – py কে সাজানো হলো, px + qx – py – qy রূপে।
এখন, px + qx – py – qy = x (p + q) – y (p + q) = (p + q) (x – y)
আবার,
px – qy + qx – py কে সাজানো হলো
px – py + qx – qy রূপে।
এখন, px – py + qx – qy
= p (x – y) + q (x – y) = (x – y) (p + q)
খ) একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করে:
x2 + 4xy + 4y2 = (x)2 + 2 x 2y + (2y)2
= (x + 2y)2
= (x + 2y) (x + 2y).
গ) একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a2 – b2 সূত্র প্রয়োগ করে।
a2 + 2ab – 2b – 1 = a2 + 2ab + b2-b2-2b-1
[এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে।]
= (a2 + 2ab + b2) – (b2 + 2b – 1)
= (a + b)2 – (b + 1)2
= (a + b + b + 1) (a + b – b -1)
= (a + 2b + 1) (a – 1)
বিকল্প নিয়ম:
a2 + 2ab – 2b – 1 = (a2 – 1) + (2ab -2b) = (a + 1) (a-1) + 2b (a – 1)
= (a -1) (a + 1 + 2b)
= (a – 1) (a + 2b + 1)
ঘ) x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b) সূত্র ব্যবহার করে:
x2 + 7x + 10 = x2 + (2 + 5)x + 2 x 5
= (x + 2) (x + 5)
ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে:
8x3 + 36x2 + 54x + 27 = (2x)3 + 3. (2x)2. 3+3.2x.32 + (3)2
= (2x + 3)3 = (2x + 3) (2x + 3) (2x + 3)
উদাহরণ-১ঃ
a4+4 এর উৎপাদক কি কি?
সমাধানঃ
a4+4
=(a2)2 +2.a2.2 +(2)2– 4a2
=(a2 +2)2 -(2a)2
=(a2+2a+2)(a2-2a+2) (ans.)
উদাহরণ-২ঃ
2x2 +x-15 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
সমাধানঃ
2x2 +x-15
=2x2 +6x-5x-15
=2x(x+3)-5(x+3)
=(x+3)(2x-5) (ans.)
উদাহরণ-৩ঃ
3x3+2x2-21x-20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে–
সমাধানঃ
3x3+2x2-21x-20
x=-1 হলে f(x)=0 হয়
অতএব, x+1 একটি উৎপাদক।
উদাহরণ-৪ঃ
x2-y2+2y-1 এর উৎপাদক কত?
সমাধানঃ
x2-y2+2y-1
=x2-(y2-2y+1)
=x2 -(y-1)2
=(x-y+1)(x-y-1) (ans.)
উদাহরণ-৫ঃ
p6 – q6 এর উৎপাদক কত?
সমাধানঃ
P6– q6
=(p3)2– (q3)2
=(p3+q3)(p3– q3)
= (p + q)(p – q)(p2 – pq + q2)(p2 – pq + q2) (ans.)
উদাহরণ-৬ঃ
x/b-c = y/c-a = z/a-b হলে, x + y + z = কত?
সমাধানঃ
ধরি,
x/(b-c) = y/(c-a) = z/(a-b) = k
x = k(b-c)
y = k(c-a)
z = k(a-b)
x+y+z=k(b-c)+k(c-a)+k(a-b)
=k(b-c-c-a+a-b)
=kx0
=0 (ans.)
প্রতিটি লেকচারে নতুন নতুন লিখা যুক্ত হচ্ছে, তাই কাঙ্খিত কোন লিখা না পেলে দয়া করে কিছুদিন পর আবার ভিজিট করে দেখবেন।
লিখাতে কিংবা লেকচারে কোন ভুলত্রুটি থাকলে অথবা আপনার কাঙ্খিত লিখা খুঁজে না পেলেইশিখন.কম এর ফ্যানপেইজ অথবা নিচে কমেন্ট কর
