বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন

কিছু মৌলিক সম্পর্ক: ধরি, sin θ = x ∴ θ = sin^‒1 x = sin^‒1 sin θ [∵ x = sin θ]

আবার, sin θ = x ∴ sin sin^‒1 x = x [∵ θ = sin^‒1 x]

অনুরূপভাবে, θ = cos^‒1 cos θ = tan^‒1 tan θ = … … …

লক্ষণীয়, sin sin^‒1 x ≠ sin^‒1 sin θ। sin sin^‒1 x একটি সংখ্যা, অপরদিকে sin^‒1 sin θ একটি অনন্ত সেট যার একটি উপাদান হল θ।

আবার, cosec θ = = ∴ θ = cosec^‒1

অর্থাৎ, sin^‒1 x = cosec^‒1 এবং cosec^‒1 x = sin^‒1

অনুরূপভাবে, cos^‒1 x = sec^‒1 এবং sec^‒1 x = cos^‒1

tan^‒1 x = cot^‒1 এবং cot^‒1 x = tan^‒1

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের রূপান্তর:

ধরি, θ = sin^‒1 x ⇒ x = sin θ

অর্থাৎ, sin θ = x হলে,

θ = sin^‒1 x = cos^‒1 = tan^‒1 = cot^‒1 = sec^‒1 = cosec^‒1

অনুরূপ প্রক্রিয়ায় যেকোনো বিপরীত ফাংশনকে অন্যান্য বিপরীত ফাংশনে রূপান্তরিত করা যায়। এছাড়াও জ্যামিতিক প্রক্রিয়ায় বিপরীত ফাংশনের রূপান্তর করা যায়:

ধরা যাক, θ = cos^‒1 x ⇒ x = cos θ

এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B এক সমকোণ এবং ∠ACB = θ

∵ cos θ = x = =

∴ BC = x এবং AC = 1

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে, AB² + BC² = AC²

অর্থাৎ, cos θ = x হলে,

θ = cos^‒1 x = sin^‒1 = tan^‒1 = cot^‒1 = sec^‒1 = cosec^‒1

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:

1. sin^‒1 x + cos^‒1 x =

2. tan^‒1 x + cot^‒1 x =

3. cosec^‒1 x + sec^‒1 x =

4. tan^‒1 x + tan^‒1 y = tan^‒1

5. tan^‒1 x ‒ tan^‒1 y = tan^‒1

6. sin^‒1 x + sin^‒1 y = sin^‒1 {x + y }

7. sin^‒1 x ‒ sin^‒1 y = sin^‒1 {x ‒ y }

8. cos^‒1 x + cos^‒1 y = cos^‒1 {xy ‒ }

9. cos^‒1 x ‒ cos^‒1 y = cos^‒1 {xy + }

10. 2 sin^‒1 x = sin^‒1

11. 2 cos^‒1 x = cos^‒1 (2x² ‒ 1)

12. 2 tan^‒1 x = tan^‒1 = sin^‒1 = cos^‒1

13. 3 sin^‒1 x = sin^‒1 (3x ‒ 4x³)

14. 3 cos^‒1 x = cos^‒1 (4x³ ‒ 3x)

15. 3 tan^‒1 x = tan^‒1

উদাহরণ 1. sin cot^‒1 tan cos^‒1 x = ?

সমাধান:

ধরি, θ = cos^‒1 x তাহলে, x = cos θ

∴ ভূমি = x

অতিভুজ = 1

লম্ব = [বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের রূপান্তর]

∴ θ = tan^‒1

∴ sin cot^‒1 tan cos^‒1 x

= sin cot^‒1 tan θ [θ = cos^‒1 x]

= sin cot^‒1 tan tan^‒1 [θ = tan^‒1]

= sin cot^‒1

আবার ধরি, θ = cot^‒1 তাহলে, = cot θ

∴ ভূমি =

লম্ব = x

অতিভুজ = 1

∴ θ = sin^‒1 x

∴ sin cot^‒1

= sin θ

= sin sin^‒1 x

= x

উদাহরণ 2. tan^‒1 + tan^‒1 + tan^‒1 = ?

সমাধান:

tan^‒1 + tan^‒1 + tan^‒1

= tan^‒1 + tan^‒1 [tan^‒1 x + tan^‒1 y = tan^‒1]

= tan^‒1 + tan^‒1

= tan^‒1

= tan^‒1 1

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন:

1. tan^‒1 1 + tan^‒1 2 + tan^‒1 3 এর মান ‒

[DU 2006-2007]

(A) 0 (B) (C) π (D) 2π

2. tan^‒1 6 + tan^‒1 এর মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) (B) (C) (D)

3. cot এর মান ‒

[DU 2008-2009]

(A) (B) (C) (D)

4. tan^‒1 + tan^‒1 + tan^‒1 = ?

[DU 2010-2011]

(A) cot^‒1 (B) cos^‒1 3 (C) tan^‒1 (D) sin^‒1 3

5. cos tan^‒1 cot sin^‒1 x সমান ‒

[DU 2011-2012]

(A) x (B) (C) ‒ x (D) x ‒

সমাধান:

1.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

tan^‒1 1 + tan^‒1 2 + tan^‒1 3 = 180 = π

∴ Answer: (C)

2.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

. tan^‒1 6 + tan^‒1 = 135 =

∴ Answer: (C)

3.

[উদাহরণ 1 দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

sin^‒1 = 30

∴ cot = cot 30 = cot (90 ‒ 30) = tan 60 =

∴ Answer: (C)

4.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

tan^‒1 + tan^‒1 + tan^‒1 = 18.434 = tan^‒1

∴ Answer: (C)

5.

[উদাহরণ 1 দ্রষ্টব্য]

ধরি, θ = sin^‒1 x তাহলে, x = sin θ

∴ cos tan^‒1 cot sin^‒1 x

= cos tan^‒1 cot cot^‒1

= cos tan^‒1

আবার ধরি, θ = tan^‒1 তাহলে, = tan θ

∴ cos tan^‒1

= cos cos^‒1 x

= x

∴ Answer: (A)