সাধারণ ধারণা :

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থার নিদেশিত হলে,

x = ঐ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা x- স্থানাঙ্ক

y = ঐ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা y- স্থানাঙ্ক

পোলার স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে (Polar Co-ordinate Geomatry) p (π,θ) দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে ,

π = ঐ বিন্দুর ব্যাসাধ ভেক্টর (Radius Vector)

θ = ভেক্টোরিয়াল কোণ (Vectorian Vector)

যখন, π² = x²+y²

এবং θ = tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে হলে ]

= π – tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে হলে ]

= π + tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান তৃতীয় চতুভাগে হলে ]

= – tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুভাগে হলে ]

or, 2π – tan^-1(y/x)

x = π cosθ ; y = π sinθ

• মূল বিন্দু বা পোল এর স্থানাঙ্ক ≡ (0,0)
• x অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর কোটি শূণ্য (0)
• y অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর ভুজ শূণ্য (0)
• x অক্ষরেখার থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর কোটি = │y│
• y অক্ষরেখা থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর ভুজ = │x│
• যেকোন বিন্দু p (x₁, y₁) এবং এর মধ্যকার দূরত্ব হল,

PQ =

• মূল বিন্দু থেকে P(x₁,y₁) বিন্দুর দূরত্ব =
• P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি অর্ন্তবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ যেখানে m₁,m₂ϵIR

তবে,

x =

y =

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি বহিবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ=m₁:m₂ হয় যেখানে m₁,m₂ϵIR

x =

y =

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে যদি R(x,y) বিন্দুটি সমদ্বিখন্ডিত করে অথাৎ PR:RQ=1:1, হয় তবে,

x =

y =

¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দু গুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), এবং (x₃,y₃) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে ≡ ( , )

¥ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে

¥ বগক্ষেত্র ,আয়তক্ষেত্র , রম্বস ও সামান্তরিকের কণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

¥ P(x₁,y₁) এবং Q(x₂,y₂) বিন্দদ্বিয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি k:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করলে, k = =

এবং বহি:বিভক্ত করলে, k = =

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে x অক্ষ –:1 অনুপাতে এবং y অক্ষ –:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।অনুপাতের মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে অক্ষরেখা উক্ত সরলরেখাকে বহির্বিভক্ত করে ।

¥ কোন ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র,পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে ।

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে ax+by+c=0 রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করলে, k = – । k এর মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে রেখাটি বহিবিভক্ত হয়েছে।

¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), এবং (x₃,y₃) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে,

x1	x2	x3
y1	y2	y3
1	1	1

½ = ½ {x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)}

অথবা নিমক্ত উপায়ে সজ্জিত করেও সহজে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়

x1	y1
x2	y2
x3	y3
x1	y1

⇒ Δ = ½ {(x₁y₂+x₂y₃+x₃+y₁)-(y₁x₂+y₂+x₃+y₃x₁)}

উক্ত প্রকিয়ায় যেকোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সম্ভব ।

¥ ∆ABC ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), ও (x₃,y₃) এবং a, b, c যথাক্রমে ∠A, ∠B এবং ∠C এর বিপরীত বাহু হলে :

I. অন্তকেন্দ্র ≡ ( , )

ii. পরিকেন্দ্র ≡ ( , )

iii. লম্ববিন্দু ≡ ( , )

¥ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে ।

¥ কোন সামান্তরিকের A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), ও (x₃,y₃) হলে,

D ≡ (x₁+x₃-x₂, y₁+y₃-y₂)

¥ ∆ABC এর BC, CA ও AB এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D(x₁,y₁), E(x₂,y₂) ও F(x₃,y₃) হলে,

1. A ≡ (x₃+x₂-x₁, y₃+y₂-y₁)

B ≡ (x₁+x₂-x₂, y₁+y₃-y₂)

C ≡ (x₁+x₂-x₃, y₁+y₂-y₃)

2. ∆ক্ষেত্র ABC = ∆ক্ষেত্র DEF
3. ∆ABC ও ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই

গাণিতিক সমস্যা

(Examplary problems with sollution 🙂

1.কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-1,√3) হলে,বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, x=-1, y=√3 অথাৎ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে ।

∴, π = = 2

∴, θ = π – tan^-1(y/x) = 180° – 60° = 120°

2.কার্তেসীয় সমীকরণগুলোকে পোলার সমীকরণে এবং পোলার সমীকরণ গুলোকে কার্তেসীয় সমীকরণে পরিণত কর

সমাধান :

1. x²+y²-2ax = 0
2. y = x tanα
3. π = 2a cosθ
4. π²sin2θ = 2a²
5. (x²+y²)² = 2a²xy
6. π² = a² cos2θ
7. π(1+cosθ) = 2

i. x²+y²-2ax = 0 ⇒ x²+y² = 2ax

⇒ π² = 2a.π cosθ

⇒ π = 2a cosθ

ii. y = x tanα ⇒ π sinθ = π cosθ – tanα

⇒ sinθ/cosθ = tanα

⇒ tanθ = tanα

⇒ θ = α

iii. π = 2a cosθ ⇒ π² = 2a π cosθ

⇒ x²+y² = 2ax

⇒ x²+y²-2ax = 0

iv. π²sin2θ = 2a² ⇒ π² 2sinθ.cosθ = 2a² [sin2θ = 2sinθ.cosθ]

⇒ π sinθ.π cosθ = a²

⇒ xy = a²

v. (x²+y²)² = 2a²xy ⇒ (π²)² = 2a². πcosθ. πsinθ

⇒ π² = 2a². 2sinθ.cosθ

⇒ π² = a² sin2θ

vi. π² = a² cos2θ ⇒ π² = a² (cos² θ – sin²θ)

⇒ π⁴ = a² (π²cos²θ – π²sin²θ) [উভয়পক্ষকে π² দ্বারা গুণ করে]

⇒ (x²+y²)² = a²(x²-y²)

vii. π(1+cosθ) = 2 ⇒ π(1+cosθ) = 2

⇒ π + π cosθ = 2

⇒ π +x = 2

⇒ π² = (2-x)²

⇒ x²+y² = 4-4x+x²

⇒ y² = -4(x-1)

3.x অক্ষ ও (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে k-এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

x অক্ষ থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব = │কোটি│ = k

(-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব =

=

=

প্রশ্নমতে, k =

⇒ k² = 130+14k+k²

⇒ k = -(65/7)

4.A(-1,2) ও B(3,-4) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাকে x অক্ষরেখা ও y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

মনে করি, x অক্ষরেখা AB কে k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ ( , )

কিন্তু x অক্ষরেখার উপরস্থিত সকল বিন্দুর কোটি শূণ্য ।

অথাৎ, = 0 ⇒ 2-4k = 0 ⇒ k = ½

∴ x অক্ষরেখা AB কে 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

অনুরূপভাবে, y অক্ষরেখাকে উপরস্থিত সকল বিন্দুর ভুজ শূণ্য ।

অথাৎ, = 0 ⇒ -1+3k = 0 ⇒ k = 1/3

∴ y অক্ষরেখা AB কে 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

Short-cut :

x অক্ষরেখা AB কে – = – = অথাৎ 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে

y অক্ষরেখা AB কে – = – = অথাৎ 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে

5.A, B, C, D বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (0,-1), (15,2), (-1,2), (4,-5)); CD কে AB রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

মনে করি, CD কে AB রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে বিভাগ বিন্দু E এর স্থানাঙ্ক ≡ ( , )

∵ A, M, B বিন্দুগুলো সমরেখ ।

∴ ∆AMB = 0

0	-1	1
		1
15	2	1

⇒ ½ = 0

0	-1	1
4k-1	-5k+2	k+1
15	2	1

⇒ = 0

0	0	1
4k-1	-4k+3	k+1
15	3	1

⇒

= 0

⇒ 12k-3+60k-45=0

⇒ 72k = 48

⇒ k = 2/3

6.একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (5,3) ; এর জ্যা (3,2) যে বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈঘ্য নির্ণয় কর

সমাধান :

মনে করি, O (5,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা C (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ।

∴ OC ⊥ AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]

OA = 5 [বৃত্তের ব্যাসাধ ]

∴ OC² = (5-3)² + (3-2)² = 5

তাহলে, AOC সমকোনী ত্রিভুজে,

AC² = OA²-OC² = 25-5 = 20

⇒ AC = 2√3

∴ AB = 2AC = 4√5

7.একটি বিন্দুর কোটি এর ভুজের দ্বিগুণ । যদি এর দূরত্ব (4,3) থেকে √10 একক হয় তবে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

ধরি, ভুজ = x ∴ কোটি = 2x

∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক ≡ (x,2x)

এখন, = √10

⇒ x²-8x+16+4x²-12x+9 = 10

⇒ 5x²-20x+15 = 0

⇒ x²-4x+3 = 0

⇒x²-3x-x+3 = 0

⇒ x(x-3)-1(x-3) = 0

⇒ (x-3)(x-1) = 0

∴ x = 3 অথবা 1

যখন x=3 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (3,6)

যখন x=1 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (1,2)

8.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (6,1), (-1,0), (1,-2) । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

-1	1	6
0	-2	1
1	1	1

সমাধান :

∴ ∆DEF = ½

0	2	7
0	-2	1
1	1	1

= ½ [π₁´ = π₁+π₃]

= ½ (2+14) = 8 বর্গ একক

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

= 32 বর্গ একক

D	-1	0
E	1	-2
F	6	1
D	-1	0

অথবা,

⇒ ∆DEF = ½ {2+1+0-(0-12-1)}

= ½ (3+13)

= 8 বর্গ একক

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

= 32 বর্গ একক

9.A ও B বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2,4) এবং (4,-5) । AB রেখা C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC । C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, AB = 3BC

⇒ =

⇒ AB:BC = 3:1

তাহলে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ (x,y) হলে,

= 4 এবং = -5

⇒ 3x-2 = 16 ⇒ 3y+4 = -20

⇒ x = 6 ⇒ y =-8

∴ C ≡ (6,-8)

Past DU questions with Solutions :

1. (-k,2), (0,5) ও (2-k,3) বিন্দুদ্বয় সমরেখ হলে k এর মান কত? [1999-2000]

a. 0

b. 5

c. -14

d. 3

2. যদি (-5,2), (4,5), (7,-4) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? [2001-02]

a. 48

b. 46 ½

c.50 ½

d. 71 ½

3. কোন ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুসমূহ (-1,-2), (2,5) ও (3,10) হলে তার ক্ষেত্রফল- [2003-04]

a. 10 sq units

b. 15 sq units

c. 4 sq units

d. 18 sq units

4. (x,y), (2,3) ও (5,1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে- [2005-06]

a. 4x-3y-17 = 0

b. 4x+3y-17 = 0

c. 3x+4y+17 = 0

d. 3x+4y-17 = 0

5. (1,4) ও (9,12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার স্থানাংক- [2005-06]

a. (3,2)

b. (5,5)

c. (6,-6)

d. (-1,1)

6. (2,2-2x), (1,2) এবং (2,6-2x) বিন্দুগুলো সমরেখ হলে b এর মান- [2006-07]

a. -1

b. 1

c. 2

d. -2

7. (1,4) এবং (9,-12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশ অন্তঃস্থভাবে যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে বিভক্ত হয় তার স্থানাংক

a. (6,-6)

b. (3,5)

c. (2,1)

d. (-6,5)

8. A, B, C বিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে (a,bc), (b,ca), (c,ab) হলে ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত? [2009-10]

a. ½ abc

b. ½ (a-b)(b-c)(c-a)

c. ½ (b-a)(b-c)(c-a)

d. ½ 3abc

Solutions :

1. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।

-k	0	2-k
2	-5	3
1	1	1

অর্থাৎ,

½ = 0

-2	k	2-k
-1	-7	3
0	0	1

⇒ = 0

⇒ 14+k = 0

⇒ k = -14

∴ anser : c

-5	1
4	5
7	-4
-5	1

2.

ক্ষেত্রফল = ½ {(-25-16+7)-(4+35+20)}

= 46 ½ বর্গ একক [N.B: ক্ষেত্রফলের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ anser :b

-1	-2
2	5
3	10
-1	-2

3.

ক্ষেত্রফল = ½ {(-5+20-6)-(-4+15-10)}

= 4 sq units

∴ anser : c

4. বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।

x	2	5
y	3	1
1	1	1

½ = 0

x-2	-3	5
y-3	2	1
0	0	1

⇒ = 0 [c₁´ = c₁-c₂; c₂´ = c₂-c₃]

⇒ 2x-4+3y-9 = 0

⇒ 2x+3y-13 = 0

অথবা, সরাসরি (2,3) ও (5,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ বের করলেই হবে-

=

⇒ 2x-4 = -3y+9

⇒ 2x+3y-13 = 0

∴ anser : 2x+3y-13 = 0; not given in the options

5. এখানে, (x₁,y₁) = (1,4); (x₂,y₂) = (9,12); m₁ = 5; m₂ = 3

∴ x = (45+3)/8 = 6

∴ y = (60+12)/8 = 9

∴ anser : (6,9) ; not given in the options

6. প্রশ্নমতে,

2	1	2
2-2x	2	b-2x
1	1	1

½ = 0

0	1	2
2-b	2	b-2x
0	1	1

⇒ = 0

0	1	2
2-b	2	b-2x
0	0	-1

⇒ = 0

⇒ 2-b = 0

⇒ b =2

∴ anser : c

7. নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাংক ≡ ( , )

= (6,-6)

∴ anser : a

a	b	c
ba	ca	ab
0	0	1

8. ∴ ∆ABC = ½

a-b	b-c	c
-c(a-b)	-a(b-c)ca	ab
0	0	1

= ½

1	1	c
-c	-a	ab
0	0	1

= ½ (a-b)(b-c)

= ½ (a-b)(b-c)(c-a)

∴ anser : b