ভেক্টর
সমীকরণ | প্রতীক পরিচিতি | একক |
১.ভেক্টরের স্কলার বা ডট গুণন : (ⅰ) (ⅱ) |
ও দুটি ভেক্টর | |
θ = এদের মধ্যবর্তী কোণ | ||
২.ক্রস গুণন :
1. 2. 3. |
Ax, Ay, Az যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর উপাংশ Bx, By, Bz যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর উপাংশ |
|
৩.একক ভেক্টর |
একটি একক ভেক্টর যেটি ক্রস গুণফলের দিক নির্দেশ করে এর মান |
|
৪.ভেক্টর যোজন (সামান্তরিকের সূত্র 🙂
1. 2. |
ও | |
ও এর মধ্যবর্তী কোণ | ||
লব্ধি | ||
ও এর মধ্যবর্তী কোণ | ||
৫.ভেক্টরের মান : |
||
৬.ভেক্টর বিভাজন যে কোনো দুই দিকে: ভেক্টর বিভাজন (পরস্পর লম্ব দুই দিকে) |
এর মধ্যবর্তী কোণ | |
৭. -এর পারস্পারিক ডট গুণফল : |
i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর |
|
৮.এর পারস্পরিক ভেক্টর গুণফল : |
i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর |
|
৯.অবস্থান ভেক্টর |
= অবস্থান ভেক্টর r = অবস্থান ভেক্টরের মান x ,y, z = r এর স্থানাঙ্ক |
|
১০.লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় : (ⅰ) এর উপর এর লম্ব অভিক্ষেপ (ⅱ) এর উপর এর লম্ব অভিক্ষেপ |
||
১১. এবং হলে, |
i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর |
|
১২. সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল | যেখানে ও সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় | |
১৩.রম্বসের ক্ষেত্রফল | যেখানে রম্বসের কর্ণদ্বয় ও | |
১৪.(ⅰ) এবং পরস্পর সমান্তরাল হবে,যদি হয় । (ⅱ) এবং পরস্পর লম্ব হবে,যদি হয় । |
গাণিতিক সমস্যার উদহারণ:
১. 6 একক ও 4 একক মানের দুইটি ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । এর ভূমির সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে। এদের লব্ধির আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মান কত?
সমাধান :
⇒ লব্ধির আনুভূমিক উপাংশের মান = 6 cos30° + 4 cos60°
= (3√3+2) [ans.]
লব্ধির উলম্ব উপাংশের মান = 6 sin30° + 4 sin60°
= (3+2√3) [ans.]
২. একটি গাড়ি 20ms-1 বেগে চলা অবস্থায় বৃষ্টি লম্বভাবে 15ms-1 বেগে পড়ছে। আনুভূমিকের সাথে কত কোণে বৃষ্টি গাড়ির কাঁচে পড়বে?
সমাধান :
tanθ = VR/VC = 15/20 VR = 15ms-1
∴ θ = 36°52′ [ans.] VC = 20ms-1
৩. A̅ = 4î+5ĵ-7k̂ , B̅ = 3î+6ĵ-2k̂
(i) A̅ + B̅ = ?
(ii) A̅ – B̅ = ?
সমাধান :
A̅ + B̅ = 7î + 11ĵ – 9k̂ [ans.]
A̅ – B̅ = î + ĵ – 5k̂ [ans.]
৪. A̅ = 3î-4ĵ+2k̂ , B̅ = 6î+2ĵ-3k̂
(i) A̅ . B̅ = ?
(ii) A̅ × B̅ = ?
সমাধান :
A̅ . B̅ = (3î-4ĵ+2k̂) (6î+2ĵ-3k̂ )
= 18-8-6
∴ A̅ × B̅ = 4 [ans.]
= î (12-4) – ĵ (-9-12) + k̂ (6+24)
= 8î + 21ĵ + 30k̂ [ans.]
৫. P̅ = 2î + ĵ – 3k̂ ; Q̅ = 3î + 2ĵ – k̂ ; ও এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
সমাধান :
⇒ P̅.Q̅ = PQ cosθ
⇒ (2î + ĵ – 3k̂)(3î + 2ĵ – k̂) = cosθ
⇒ 6-2-3 = √(4+1+9).√(9+4+1) cosθ
⇒ 1 = √14.√14 cosθ
⇒ θ = cos-1(1/14)
∴ θ = 86° [ans.]
৬. P̅ = 3î – 2ĵ + k̂ ; Q̅ = 4î + mĵ – 6k̂, m-এর মান কত হলে P̅ ও Q̅ পরস্পর লম্ব হবে?
সমাধান :
⇒ P̅. Q̅ = PQ cosθ
⇒ cosθ = ( P̅. Q̅)/(PQ)
⇒ cosθ =
⇒ 0 =
⇒ 12-2m-6 = 0
⇒ 2m = 6
∴ m = 3
[ans.]
৭. A̅ = 2î – ĵ + k̂ , B̅ = î + 2ĵ + 2k̂; B̅ বরাবর এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
সমাধান :
: B̅ বরাবর A̅ এর লম্ব অভিক্ষেপ-
A cosθ = (A̅ . B̅ ) / B = (2î – ĵ + k̂ ) (î + 2ĵ + 2k̂) / √ (12+22+22)
= (2-2+2)/√9
= 2/3 [ans.]
৮. F̅ = î – 2ĵ – k̂ ; S̅ = 5î – 8ĵ + 3k̂ ; F̅ বল এবং S̅ সরণ হলে F̅ বলের ক্রিয়ায় কৃত কাজের পরিমাণ বের কর।
সমাধান :
W = F̅.S̅ = (î – 2ĵ – k̂) (5î – 8ĵ + 3k̂)
= 5+16-3
∴ W = 18 একক [ans.]
পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্রের সকল অধ্যায় দেখতে এখানে যান
1 responses on "উচ্চ মাধ্যমিক-এইচএসসি পদার্থ বিজ্ঞান : ভেক্টর"