অন্তরীকরণ

গানিতিক সমস্যা ও সমাধান :

• Type – 1 : Simple অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

d/dx (sink) = ?

= 2sink cosk

বি:দ্র: dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে ।

উদাহরণ- ২ :

d/dx (log₅x) = 1/k log­₅c [সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে]

উদাহরণ- ৩ :

y = tan^-1 {tan(2x²+3)} হলে, dy/dx = ?

আমরা জানি, tan^-1 = θ; tan^-1 ও tan কাটাকাটি হয় ।

একইভাবে, sinθ, cosθ, secθ, cosecθ, catθ এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ।

সুতরাং বাকি থাকছে, 2x²+3

∴ d/dx(2x²+3) = 4x [ans.]

উদাহরণ- ৪ :

y = √sin²k হলে, dy/dx = ?

dy/dx = (d/dx) (sin²x)

= . cos²k . 2

=

এক্ষেত্রেও dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে ।

• Type – 2 : সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

y = ln(cosx) হলে, dy/dx = ?

∴ dy/dx = d/dx (In(cosx)) = (1/cosx).-sinx.1 = -(sinx/cosx) = -tanx

উদাহরণ- ২ :

y = sine^x হলে, dy/dx = ?

dy/dx = d/dx(sine^x) = cose^x . (d/dx) e^x

= e^x . cosec^x [ans.]

উদাহরণ- ৩ :

(2-3x)^1/3 হলে, dy/dx = ?

dy/dx = d/dx (2-3x)^1/3

= 2/3 . (2-3xx)^2/3-1 . 3

= 2(2-3x)^-1/3 [ans.]

• Type – 3 : দুটি ফাংশনের গুণফল থাকলে :

এক্ষেত্রে (d/dx)(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx) এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় ।

উদহারণ- ১ :

d/dx (e^xnm) = e^x(d/dx) sinx + sinx(d/dx) e^x

= e^xcosx + e^x sinx

উদাহরণ- ২ :

d/dx (sinx cosx) = sinx(d/dx) cosx + cosx (d/du) sinx

= sinx.-sinx + cosx.cosx

= -sin²x + cos²x

= cos²x-sin²x

= cos²x [ans.]

উদাহরণ- ৩ :

(d/du){e^-x(5x²+7)}

= e^-x (d/dx)(5x²+7) + (5x²+7)(d/dx) e^-x

= e^-x . 0

= 0 [ans.]

উদাহরণ- ৪ :

(d/dx)(2x²+9x)(3x³-4x²)

⇒ (2x²+9x)(d/dx)(3x³-4x²)+ (3x³-4x²)(d/dx)(2x²+9x)

⇒ (2x²+9x)(9x²-8x) + (3x³-4x²)(4x+9) [ans.]

• Type – 4 : ফাংশনের Power ফাংশন থাকলে :

এক্ষেত্রে প্রদত্ত ফাংশনটিকে ৬ ধরে নিয়ে পরবর্তীতে লগারিদম নিতে হয় । তারপর স্বাভাবিক অন্তরীকরণ করলেই চলবে ।

উদারহণ- ১ : x^x এর অন্তরীকরণ কর ।

ধরি, y = x^x

⇒ Iny = Inx^x = xInx

⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx)(xInx )

⇒ (1/y)(dy/dx) = x. (1/x) + Inx.1 [(d/du)(uv) এই সূত্র প্রয়োগ করে]

⇒ (1/y)(dy/dx) = 1 + Inx

⇒ dy/dx = y (1+ Inx) = x^x (1+Inx) [ans.]

উদাহরণ- ২ : x^xInx এর অন্তরক সহগ :

ধরি, y = x^xInx

⇒ Iny = In (x^x.Inx) = Inx^x + In(Inx)

⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx){Inx^x+In(Inx)}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/du) xInx + (d/du){In(Inx)}

= x.(1/x) + Inx.1 + (1/Inx).(1/x)

= 1 + Inx + (1/xInx)

⇒ (dy/dx) = y{1+Inx+(1/xInx)}

= x^xInx{1+Inx+(1/xInx)} [ans.]

উদাহরণ- ৩ : এর অন্তরক সহগ :

ধরি, y =

⇒ Iny = In

⇒ (d/du) Iny = (d/dx){In}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/dx){(x³+x)In3}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (x³+3) (d/dx) In3 + In3. (d/dx) (x³+3)

⇒ (1/y)(dy/dx) = (x³+3).0 + In3.3x²

⇒ (1/y)(dy/dx) = 3x² In3

⇒ dy/dx = y.3x²In3

⇒ dy/dx = . 3x²In3 [ans.]

• Type – 5 : implicit ফাংশনের অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

x²+y² = 1

⇒ (d/dx) x² + (d/dx) y² = (d/dx) . 1

⇒ 2x + (d/dy) y² (dy/dx) = 0

⇒ 2x + 2y. (dy/dx) = 0

∴dy/dx = – x/y [ans.]

উদাহরণ- ২ :

x³+y³ = 3xy হলে, dy/dx = ?

(d/dx)(x³+y³) = 3xy

⇒ 3x² + (d/dx)y³ = 3 [x.(dy/dx) + y.1]

⇒ 3x²+3y²(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y

⇒ (3y²-3x)(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y

⇒ (3y²-3x)(dy/dx) = y-3x²

⇒ (dy/dx) = (y-3x²)(3y²-3x) [ans.]

উদাহরণ- ৩ :

x+xy+y² = 1 হলে, dy/dx = ?

⇒ (d/du)(x+xy+y²) = (d/du).1

⇒ x + x.(dy/dx)+y.1+2y(dy/dx) = 0

⇒ x+x(dy/dx)+y+2y(dy/dx) = 0

⇒ (x+2y)(dy/dx) = -(x+y)

⇒ (dy/dx) = – (x+y)/(x+2y) [ans.]

উদাহরণ- ৪ :

y = cos(2k+x) হলে, dy/dx = ?

⇒ dy/dx = (d/dx){cos(2x-2y)}

= -sin(2x+2y).(d/dx)(2x+2y)

= -sin(2x+3).2+2(dy/dx)

∴ (dy/dx) = 2sin(2x+3) [ans.]

• Type – 6 : পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ :

যদি x এবং y এর মধ্যবর্তী সম্পর্ককে সোজাসুজি কোন সমীকরণের আকারে ব্যক্ত না করে তৃতীয় কোন চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তাহলে x ও y এর সমীকরণ দুটিকে একত্রে পরামিতিক সমীকরণ বলে এবং তৃতীয় চলককে parameter বা পরামিতি বলে ।

এক্ষেত্রে প্রথমে x ও y ফাংশনকে parameter এর সাহায্যে অন্তরীকরণ করতে হয় এবং পরে dy/dx বের করতে হয় ।

উদাহরণ- ১ :

x = cosθ এবং y = sinθ হলে, dy/dx = ?

dx/dθ = -sinθ এবং dy/dθ = cosθ

∴ dy/dx = -sinθ/cosθ = -tanθ [ans.]

উদাহরণ- ২ :

x = 1+t²

y = 1-t³

dx/dt = 1`+2t

dy/dt = 1-2t²

dy/dx = (dx/dt)/(dy/dt)

= (1+2t)/(1-2t²) [ans.]

উদাহরণ- ৩ :

y = a sinθ

x = acosθ হলে, (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = ?

dy/dθ = a cosθ

dx/dθ = -asinθ

∴ dy/dx = (a cosθ)/(-asinθ)

= -y/x

∴ (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = – (-1/1) = 1 [ans.]

• Type – 7 : ফাংশনের সাপেক্ষে ফাংশনের অন্তরক :

উদাহরণ- ১ :

Inx এর সাপেক্ষে sinx এর অন্তরক নির্ণয় কর ।

ধরি, u = Inx

V = θ sinx

dv/du = (dv/du)/(du/dx)

= cosx/(1/x)

= x cosx [ans.]

উদাহরণ- ২ :

sinx এর সাপেক্ষে cos²x এর অন্তরীকরণ :

ধরি, u = sinx

v = cos²x

dv/du = (dv/du)/(du/dx)

= (d/dx) cos²x / (d/dx) sinx

= (-sinx²,2x)/(cosx)

= (-2x sinx²)/cosx [ans.]