সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়:

(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:

n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।

sin (n.90° ± θ) = sin θ

cos (n.90° ± θ) = cos θ

tan (n.90° ± θ) = tan θ

cot (n.90° ± θ) = cot θ

sec (n.90° ± θ) = sec θ

cosec (n.90° ± θ) = cosec θ

n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,

sin (n.90° ± θ) = cos θ

cos (n.90° ± θ) = sin θ

tan (n.90° ± θ) = cot θ

cot (n.90° ± θ) = tan θ

sec (n.90° ± θ) = cosec θ

cosec (n.90° ± θ) = sec θ

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B

3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B

4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B

5. tan (A + B) =

6. tan (A ‒ B) =

7. cot (A + B) =

8. cot (A ‒ B) =

9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin² A ‒ sin² B = cos² B ‒ cos² A

10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos² A ‒ sin² B = cos² B ‒ sin² A

11. sin (A + B + C) = cos A cos B cos C (tan A + tan B + tan C ‒ tan A tan B tan C)

12. cos (A + B + C) = cos A cos B cos C (1 ‒ tan A tan B ‒ tan B tan C ‒ tan C tan A)

13. tan (A + B + C) =

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর:

1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)

2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)

3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)

4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর:

1. sin C + sin D = 2 sin cos

2. sin C ‒ sin D = 2 cos sin

3. cos C + cos D = 2 cos cos

4. cos D ‒ cos C = 2 sin sin

⇒ cos C ‒ cos D = 2 sin sin

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

1. sin 2A = 2 sin A cos A =

2. cos 2A = cos² A ‒ sin² A = 2cos² A ‒ 1 = 1 ‒ 2sin² A =

3. tan 2A =

4. sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin³ A

5. cos 3A = 4 cos³ A ‒ 3 cos A

6. tan 3A =

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে A = এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে A = বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।

1. sin θ = 2 sin cos =

2. cos θ = cos² ‒ sin² = 2cos² ‒ 1 = 1 ‒ 2sin² =

3. tan θ =

4. sin θ = 3 sin ‒ 4 sin³

5. cos θ = 4 cos³ ‒ 3 cos

6. tan θ =

উদাহরণ 1. মান নির্ণয় কর:

(i) cos 690°

(ii) sin (‒ 1395°)

(iii) cosec

সমাধান:

(i)

cos 690° = cos (7×90° + 60°)

এক্ষেত্রে n = 7 যেটি বিজোড় সুতরাং cos সহ-অনুপাত sin এ পরিবর্তিত হবে।

আবার, প্রতি চতুর্ভাগ অতিক্রম করা মানে 90° করে কোণ অতিক্রম করা। এক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 7টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে আরও 45° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক। [(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়]

∴ cos 690° = sin 60° = [0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]

অথবা,

cos 690° = cos (8×90° ‒ 30°)

এক্ষেত্রে, n = 8 যেটি জোড় সুতরাং অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে।

আবার, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 8টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে উল্টো দিকে অর্থাৎ ঘড়ির কাঁটার দিকে 30° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।

∴ cos 690° = cos 30° =

(ii)

sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (15×90° + 45°)} = ‒ (‒ cos 45°) =

অথবা,

sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (16×90° ‒ 45°)} = ‒ (‒ sin 45°) =

(iii)

cosec = cosec = cosec = ‒ cosec =

উদাহরণ 2. যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sin A = হয়, তবে cot A এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

পদ্ধতি 1:

দেওয়া আছে, sin A =

আমরা জানি,

sin² A + cos² A = 1 ⇒ cos² A = 1 ‒ sin² A ⇒ cos A = ± = ± = ±

কিন্তু A সূক্ষ্মকোণ অর্থাৎ প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে। সুতরাং cos A ধনাত্মক। ∴ cos A =

∴ cot A = = =

পদ্ধতি 2:

মনে করি, BOC সমকোণী ত্রিভুজে ∠OCB = A

তাহলে, sin A = =

অর্থাৎ, OB = 12, BC = 13

কিন্তু পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

OB² + OC² = BC²

⇒ OC² = BC² ‒ OB²

⇒ OC = ±

কিন্তু কোনো কিছুর পরিমাপ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ OC = = = 5

∴ cot A = =

উদাহরণ 3. যদি < θ < π এবং sin θ = হয়, তবে এর মান কত?

সমাধান:

এখানে, < θ < π সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে এবং ‒ θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে।

∴ tan θ = ‒

∴ sec (‒θ) = ‒

∴ cot θ = ‒

∴ cosec (‒ θ) = ‒

∴ = = =

উদাহরণ 4. sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°)

= sin (5×90° + 30°) cos (8×90° + 30°) + {‒ cos (7×90° + 30°)} {‒ sin (9×90° + 60°)}

= cos 30° cos 30° + (sin 30°) (‒ cos 60°)

= ‒

= ‒

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 5. মান নির্ণয় কর:

(i) sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + … … … + sin² 80°

(ii) cos² 25° + cos² 35° + cos² 45° + cos² 55° + cos² 65°

সমাধান:

(i)

sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + … … … + sin² 80°

= sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + sin² (90° ‒ 40°) + sin² (90° ‒ 30°) + sin² (90° ‒ 20°) + sin² (90° ‒ 10°)

= sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + cos² 40° + cos² 30° + cos² 20° + cos² 10°

= (sin² 10° + cos² 10°) + (sin² 20° + cos² 20°) + (sin² 30° + cos² 30°) + (sin² 40° + cos² 40°)

= 1 + 1 + 1 + 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

= 4

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

(ii)

cos² 25° + cos² 35° + cos² 45° + cos² 55° + cos² 65°

= cos² 25° + cos² 35° + cos² 45° + cos² (90° ‒ 35°) + cos² (90° ‒ 25°)

= cos² 25° + cos² 35° + cos² 45° + sin² 35° + sin² 25°

= (sin² 25° + cos² 25°) + (sin² 35° + cos² 35°) + cos² 45°

= 1 + 1 +

= 2 +

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 6. এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

=

=

=

= [ = tan θ]

= [tan 45° = 1]

= tan (45° ‒ 25°) [ = tan (A ‒ B)]

= tan 20°

উদাহরণ 7. মান নির্ণয় কর:

(i) sin 15°

(ii) cos 15°

(iii) tan 15°

(iv) sin 75°

(v) cos 75°

(vi) tan 75°

সমাধান:

(i)

sin 15°

= sin (45° ‒ 30°)

= sin 45° cos 30° ‒ cos 45° sin 30° [sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B]

=

=

(ii)

cos 15°

= cos (45° ‒ 30°)

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]

=

=

(iii)

tan 15°

=

=

=

=

=

=

= 2 ‒

(iv)

sin 75°

= sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

=

=

(v)

cos 75°

= cos (45° + 30°)

= cos 45° cos 30° ‒ sin 45° sin 30°

=

=

(vi)

tan 75°

=

=

=

=

=

= 2 +

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন:

1. নিচের কোনটি sin A বা cos A এর বহুপদীরূপে sin 3A কে প্রকাশ করে? رهانات كرة القدم

[DU 2001-2002, 2003-2004]

(A) 4 sin³ A ‒ 3 sin A (B) 3 sin³ A ‒ 4 sin A (C) 3 sin A ‒ 4 sin³ A (D) 4 sin³ A ‒ 3 cos A

2. cos 420° cos 390° + sin (‒300°) sin (‒ 330°) এর মান ‒

[DU 2001-2002]

(A) 0 (B) ‒ 1 (C) 1 (D)

3. = ?

[DU 2001-2002]

(A) tan 2θ (B) 2 sin θ cos θ (C) 2 cos² (D) cos 2θ

4. নিচের কোন রাশিমালাটি cos 3A কে cos A বা sin A এর বহুপদীরূপে প্রকাশ করে ‒

[DU 2002-2003]

(A) 3 cos A ‒ 4 cos³ A (B) 4 cos³ A ‒ 3 cos A (C) 3 sin A ‒ 4 sin³ A (D) 4 sin³ A ‒ 3 sin A

5. sin 65° + cos 65° সমান ‒

[DU 2002-2003]

(A) cos 40° (B) sin 20° (C) cos 20° (D) sin 40°

6. tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° এর মান ‒

[DU 2003-2004]

(A) 0 (B) 1 (C) (D)

7. cos 675° + sin (‒ 1395°) সমান ‒

[DU 2003-2004]

(A) (B) (C) ‒ (D)

8. সমান ‒

[DU 2004-2005, 2011-2012]

(A) (B) (C) (D)

9. sin² 10° + sin² 20° + … … … + sin² 80° + sin² 90° এর মান ‒

[DU 2004-2005]

(A) 5 (B) 6 (C) 4 (D) 3

10. sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) এর মান ‒

[DU 2005-2006]

(A) 0 (B) ‒ 1 (C) 1 (D)

11. cos² 30° + cos² 60° + … … … + cos² 180° এর মান ‒

[DU 2006-2007]

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

12. cos 75° এর সঠিক মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) (B) (C) ‒ (D)

13. যদি cos A = হয়, তবে এর মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) ‒ (B) (C) (D) ‒

14. cos² 0° + cos² 10° + cos² 20° + … … … + cos² 90° এর মান ‒

[DU 2008-2009]

(A) 6 (B) 3 (C) 5 (D) 4

15. cot A ‒ tan A সমান ‒

[DU 2008-2009]

(A) 2 tan 2A (B) 2 cot 2A (C) 2 cos² A (D) 2 sin² A

16. tan θ = এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে sin θ + sec (‒θ) এর মান ‒

[DU 2008-2009]

(A) (B) (C) (D)

17. cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° এর মান ‒

[DU 2009-2010]

(A) 0 (B) ‒ 1 (C) 1 (D)

18. যদি cos θ = হয়, তাহলে tan θ এর মান ‒

[DU 2009-2010]

(A) ± (B) (C) (D) ±

19. যদি A + B + C = π হয়, তবে sin² + sin² + sin² সমান ‒

[DU 2010-2011]

(A) 1 ‒ 2 sin sin sin

(B) 1 + 2 sin sin sin

(C) 1 ‒ sin sin sin

(D) 1 + sin sin sin

সমাধান:

1.

আমরা জানি, sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin³ A [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (C)

2.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই:

∴ Answer: (D)

3.

আমরা জানি, sin 2θ = 2 sin θ cos θ = [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

4.

আমরা জানি, cos 3A = 4 cos³ A ‒ 3 cos A [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

5.

sin 65° + cos 65°

= sin 65° + cos (90° ‒ 25°)

= sin 65° + sin 25°

= 2 sin cos

= 2 sin 45° cos 20°

= 2. cos 20°

= cos 20°

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করে প্রদত্ত রাশির সাথে প্রশ্নের Option গুলোর মান মিলিয়ে সঠিক উত্তর নির্বাচন করা যায়। [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

এক্ষেত্রে,

sin 65° + cos 65° = 1.3289…

cos 40° = 0.9382…

sin 20° = 0.1710…

cos 20° = 1.3289…

∴ Answer: (C)

6.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° = 1 [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (B)

7.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

cos 675° + sin (‒ 1395°) = 1.4142… = [উদাহরণ 1. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (D)

8.

[উদাহরণ 6. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

= 1.732 … =

∴ Answer: (A)

9.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin² 10° + sin² 20° + … … … + sin² 80° + sin² 90° = 5

∴ Answer: (A)

10.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) = 1

∴ Answer: (C)

11.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos² 30° + cos² 60° + … … … + cos² 180° = 3

∴ Answer: (C)

12.

[উদাহরণ 7. দ্রষ্টব্য]

cos 75° =

∴ Answer: (D)

13.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∴ tan A = ±

∴ = = =

∴ Answer: (C)

14.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos² 0° + cos² 10° + cos² 20° + … … … + cos² 90° = 5

∴ Answer: (C)

15.

cot A ‒ tan A

=

=

= [cos 2A = cos² A ‒ sin² A]

=

= [sin 2A = 2 sin A cos A]

= 2 cot 2A

∴ Answer: (B)

16.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সূক্ষ্মকোণ ∴ sin θ = এবং sec (‒θ) = sec θ =

∴ sin θ + sec (‒ θ) = + =

∴ Answer: (B)

17.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° = 0 [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (A)

18.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা নেই এবং cos θ ধনাত্মক সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম অথবা ৪র্থ চতুর্ভাগের যেকোনোটিতে হতে পারে।

∴ tan θ = ±

∴ Answer: (A)

19.

sin² + sin² + sin²

=

= [cos θ = 1 ‒ 2sin² ⇒ 2sin² = 1 ‒ cos θ]

=

= [cos C + cos D = 2 cos cos ]

= [ A + B + C = π ⇒ ]

=

=

=

=

= [2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)]

=

অথবা,

A = B = C = 60° ধরলে Calculator ব্যবহার করে পাই,

sin² + sin² + sin² = 0.75

1 ‒ 2 sin sin sin = 0.75

∴ Answer: (A)