ত্রিভুজের গুণাবলী
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:
সাধারণত কোন ত্রিভুজ ABC এর ∠BAC, ∠ABC এবং ∠ACB কোণগুলোকে যথাক্রমে A, B, C দ্বারা এবং A, B, C কোণগুলোর বিপরীত বাহুগুলোকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা নির্দেশ করা হয়।
1. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য তাদের বিপরীত কোণের sine এর সমানুপাতিক। অর্থাৎ,
[R হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
; cos B = 
; cos C = 
3. a = b cos C + c cos B ; b = c cos A + a cos C ; c = a cos B + b cos A
4. s = ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক = 
9. Δ = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 
× যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল × ঐ দুই বাহুর অন্তর্গত কোণেরsine
উদাহরণ 1. যদি কোনো ত্রিভুজে a4 + b4 + c4 = 2c2 (a2 + b2) হয়, তবে C = ?
সমাধান:
এখানে,
a4 + b4 + c4 = 2c2 (a2 + b2)
⇒ a4 + b4 + c4 = 2c2a2 + 2b2c2
⇒ a4 + b4 + c4 ‒ 2c2a2 ‒ 2b2c2 = 0
⇒ (a2)2 + (b2)2 + (‒ c2)2 + 2a2b2 + 2b2(‒ c2) + 2(‒ c2)2a2 = 2a2b2
⇒ (a2 + b2 ‒ c2)2 = 2a2b2 [(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca]
⇒ a2 + b2 ‒ c2 = ± ab
⇒ 
⇒ cos C = ± 
= ± cos 45°
হয়,
cos C = cos 45°
∴ C = 45°
অথবা,
cos C = ‒ cos 45°
⇒ cos C = cos (180° ‒ 45°)
⇒ cos C = cos 135°
∴ C = 135°
উদাহরণ 2. ΔABC ত্রিভুজে cos A = sin B ‒ cos C হলে, C = ?
সমাধান:
এখানে,
cos A = sin B ‒ cos C
⇒ cos A + cos C = sin B
⇒ cos A + cos {π ‒ (A + B)} = sin B [A + B + C = π]
⇒ cos A ‒ cos (A + B) = sin B
⇒ 2 sin 
sin 
= 2 sin cos [cos C ‒ cos D = 2 sin 
sin 
; sin θ = 2 sin 
cos ]
⇒ sin 
= cos
⇒ sin = sin 
⇒ A + = 90° ‒
⇒ A + B = 90°
∴ C = 180° ‒ (A + B) = 90°
1. ABC ত্রিভুজে cos A + cos C = sin B হলে, ∠C সমান ‒
[DU 2004-2005]
(A) 30° (B) 60° (C) 90° (D) 45°
সমাধান:
1.
[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]
∴ Answer: (C)