এইচএসসি গণিত জ্যামিতি : ভেক্টর

জ্যামিতি  | সাধারণ ধারণা

• ভেক্টর রাশির নির্দেশনা (Representation of vectors) :

কোন ভেক্টর হলে একে নির্দেশ করার জন্য প্রভৃতি প্রতীক ব্যবহৃত হয় এবং এর মান

যথাক্রমে ইত্যাদি দ্বারা নির্দেশিত হয় । অনেক সময় শুধু r দিয়ে ও r̅ ভেক্টরের মান প্রকাশ করাহয় ।

• একক ভেক্টর (Unit vector) : কোন ভেক্টর রাশিকে তার মান (Magnitude) দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে বা তার সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর পাওয়া যায় ।

A̅ কোন ভেক্টর ও তার দিকে বা সমান্তরালে একক ভেক্টর â হলে,

• আয়ত একক ভেক্টর (Rectangular unit vectors) : ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় ধনাত্মক x, y এবং z অক্ষের দিকে যথাক্রমে ব্যবহৃত î , ĵ , k̂ একক ভেক্টরগুলোকে আয়ত একক ভেক্টর বলে ।

• অবস্থান ভেক্টর (Position vector) : প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোন বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে ।

O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করেছে অবস্থান ভেক্টর । লক্ষণীয়,
;

;

• লব্ধি (Resultant) : দুই বা ততোধিক ভেক্টরের সমষ্টিকে একটি ভেক্টর রূপে প্রকাশ করা যায় যাকে ঐ ভেক্টরগুলোর লব্ধি বলে ।

A̅ = Axî+ Ayĵ + Azk̂; B̅ = Bxî + Byĵ + Bzk̂ ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি
A̅ + B̅ = (Ax+Bx) î+ (Ay+By) ĵ+ (Az+Bz) k̂

⇒ C̅ = Cx î+ Cyĵ+ Czk̂ [ C̅ = লব্ধি ভেক্টর]

• লব্ধির সামান্তরিক সূত্র (Law of parallelogram) : কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উপর পরস্পর θকোণে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর P̅ ও Q̅ হলে, তাদের লব্ধি

R̅ = P̅+Q̅

R̅,P̅ এর সাথে ϕ কোণ উৎপন্ন করলে,

• ভেক্টরের স্কেলার বা উট গুণন (Scalar or dot product) : A̅ও B̅ দুটি ভেক্টর ও তাদের মধ্যবর্তী কোণ Θ হলে, তাদের স্কেলার গুণন,

. B̅ = ABcosθ [A̅. B̅ = B̅. A̅]
আবার, A̅= Axî+ Ay ĵ+ Azk̂;

B̅ = Bxî + Byĵ + Bzk̂ হলে,
A̅. = AxBx + AyBy + AzBz
A̅ও B̅ পরস্পর লম্ব হলে θ = 90°
∴ A̅ . B̅ = AB cos 90° = 0 [cos90° = 0]
অর্থাৎ, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে ।

• ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or cross product) : A̅ ও B̅ দুটি ভেক্টর এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, ভেক্টর গুণন

C̅ = A̅×B̅ = η̂ABsinθ [A̅ × B̅ ≠ B̅ × A̅ ]
η̂ একটি একক ভেক্টর যেটি C̅ এর দিক নির্দেশ করে ।
আবার, A̅= Axî+ Ay ĵ+ Azk̂ ; B̅ = Bxî + Byĵ + Bzk̂ হলে,

A̅ও B̅ সমান্তরাল হলে, θ = 0°
∴ A̅ × B̅= AB sin0° = 0 [sin0° = 0]
অর্থাৎ, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের ভেক্টর গুণফল শূন্য হবে ।

• মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় : A̅ও B̅ দুটি ভেক্টর এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,

• ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ বা অভিক্ষেপ (Orthogonal projection) : এবং পরস্পর θ কোণে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর হলে,

⇒ A̅ এর উপর B̅ এর অভিক্ষেপ =

⇒ B̅ এর উপর A̅ এর অভিক্ষেপ =

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :

1. 5î+4ĵ-2k̂ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

∴ নির্ণেয় দৈর্ঘ্য = [ r̂ = x î+yĵ+zk̂ হলে, │r̂│ = ]
= √45
= 3√5

2. A̅ = î-2ĵ-2k̂ এবং B̅ = 6î+3ĵ+2k̂ ভেক্টর দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণের মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
[ A̅.B̅ = AB cosθ ; স্কেলার গুণন]
এখন, │A̅│ = √(12+22+22) = √9 = 3 = A
| B̅̅̅̅ | = √(62+32+22) = √48 = 7 = B
A̅.B̅ = (1)(6) + (-2)(3) + (-2)(2) [A̅.B̅ = AxBx + AyBy + AzBz]
= -4

∴ θ = cos-1(-4/21)

3. a̅ = î+ĵ+k̂ , b̅ = √3 î+3ĵ-2k̂ , b̅ এর উপর a̅ এর অভিক্ষেপ বের কর ।

জ্যামিতি  |সমাধানঃ

এখন, a̅.b̅ = (1)(√3) + (1)(3) + (1)(-2) = √3+1 [ A̅.B̅ = AxBx + AyBy + AzBz]
b = │b̅│ = = 4 [│r̅│ = r = ]

4. A̅ = î+3ĵ-2k̂ ও B̅ = 4î-2ĵ+3k̂ হলে 3A̅ + 2B̅ এবং | 3 A̅ +2B̅ | নির্ণয় কর ।

জ্যামিতি  |সমাধানঃ

3A̅ + 2B̅ = 3(î+3ĵ-2k̂) + 2(4î-2ĵ+4k̂)
= 3î+9ĵ-6k̂+8 î-4ĵ+6k̂ [m(Axî+Ay ĵ+Az k̂) = mAxî + mAy ĵ + mAz k̂]
= 11î + 5ĵ + 2k̂
∴ | 3 A̅ +2B̅ | = = √150 = 5√6

5. a এর মান কত হলে a î-2ĵ+k̂ এবং 2aî-aĵ-4k̂ পরস্পর লম্ব হবে?

সমাধানঃ

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে ।
∴ (a)(2a) + (-2)(-a) + (1)(-4) = 0 [A̅.B̅ = AxBx + AyBy + AzBz]
⇒ 2a²+2a-4 = 0
⇒ a²+a-2 = 0
⇒ a²+2a-a-2 = 0
⇒ a(a+2)-1(a+2)
⇒ (a+2)(a-1)
∴ a = -2,1

আমাদের অন্যান্য সেবাঃ
ডোমেইন হোস্টিংঃ http://HOSTbelt.com/

লাইভ কোর্স অফারঃ https://eshikhon.com/pro-offer/