সীমা (limits) (free jangle)

সীমা (limits)

প্রয়োজনীয় তথ্যাদি :

1. lim (sinθ/θ) = lim (θ/sinθ) = 1

θ→0 θ→0

2. lim (tanθ/θ) = lim (θ/tanθ) = 1

θ→0 θ→0

3. lim ( xⁿ-aⁿ / x-a ) = na^n-1

x→a

4. lim ( e^x-1 / x ) = 1

x→0

5. lim (1+x)^1/x = lim ( 1 + 1/x )^x = e

x→0 x→α

Short-cuts :

1. lim (tan^-1x/x) = lim (x/tan^-1x) = 1

x→0 x→0

2. lim (sin^-1x/x) = lim (x/sin^-1x) = 1

x→0 x→0

L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি lim (x→a) আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি এর মান 0/0 আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার 0/0 আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

Type- 1 :

lim (x→2)

= lim (x→2)

= lim (x→2) (x²+2x+4) = 4+4+4 = 12 [ans.]

এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে u = 2 বসালে 0/0 আকারে আসে ।

lim (x→2)

= lim (x→2)

= 3.2²

= 12 [ans.]

Type- 2 :

lim (x→α) আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।

example :

lim (x→α)

= lim (x→α)

= lim (x→α)

= (1+0)/(3+0+0)

= 1/3 [ans.]

Note : something/α = 0

Type- 3 :

lim (1+ax)^1/ax = lim (1+1/bx)^bx = e

x→0 x→α

সূত্রটির ব্যবহার :

i. lim (1+5x)^1/x

x→0

= lim (1+5x)^1/5x.5

x→0

= e⁵ [ans.]

ii. lim,(1+1/3x)^9x

x→α

= lim (1+1/3x)^3x.3

x→α

e³ [ans.]

Type- 4 :

example- 1 :

lim (x→0)

অংকটিতে, x = 0 বসালে 0/0 আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।

lim (x→0)

lim (x→0) [differentiate করে]

এখনও এটি 0/0 আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,

lim (x→0)

এখন,x=0 বসালে আমরা পাই 9/6 = 3/2 । এটিই উত্তর ।

example- 2 :

lim (x→π/2) [0/0 form]

= lim (x→π/2) [not o/o form]

=

= 0/1 = 0 [ans.]

example- 3 :

lim (x→0) [o/o form]

= lim (x→0) [o/o form]

= lim (x→0) [not o/o form]

= 1/3 [ans.]

Type- 5 :

lim (x→0) আকারে থাকলে, লবে ± এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।

example- :

lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= 6/4 = 3/2 [ans.]

Type- 6 :

lim (x→a) সূত্রের ব্যবহার :

i. lim (x→a)

= lim (x→a)

= 3(√a)^3-1

= 3a [ans.]

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর :

1. lim (x→0)

= lim (x→0)

= 0 [ans.]

2. lim (x→0)

= lim (x→0) . 2

= 1.2

= 2 [ans.]

3. lim (x→0) [0/0 form]

= lim (x→0)

= 2/2

= 1 [ans.]

4. tan^-1x/x = 1 [ans.]

5. lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= 2/2√3

= 1/√3 [ans.]

6. lim (x→0)

এখানে যেহেতু 0/0 form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2.

7. lim (x→ π/2) [0/0 form]

= lim (x→ π/2)

= lim (x→ π/2)

= cot π/2

= 0 [ans.]

8. lim (x→0)

= lim (x→0) . 3

= 1.3

= 3 [ans.]